La carga q en el condensador de un circuito sencillo RLC queda descrita mediante la ecuación Lq^'' (t)+Rq^' (t)+1/C q(t)=E(t), donde L es la inductancia, R la resistencia, C la capacitancia del circuito y E la fuente de voltaje. Como la resistencia de un resistor se aumenta con la temperatura, supongamos que la resistencia se calienta cambiando su valor de modo que R=(1+t/8)Ω. Si C=4 Faradios, L=0.25 Henrios y la fuente de voltaje está apagada, además teniendo en cuenta las condiciones iniciales donde la carga q(0)=2 Coulombs y la corriente dq/dt (0)=0 A, obtenga los primeros 5 términos de la solución en serie de potencias en torno a t=0 para la carga del condensador.
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Sabemos que la ecuación diferencial de el circuito RLC es la siguiente:
Lq^'' (t)+Rq^' (t)+1/C q(t)=E(t)
dónde :
L: Inudctancia
R: Resitencia
C: Capacitancia
E: Voltaje.
Ri = (1+t/8)Ω.
C=4 F
L=0.25 H
E=0
q(0)=2
Tenemos que:
0.25q''(t) +q'(t) (1+t/8) +1/4 q(t) = 0
sabemos que para t=0
0.25 q'' + 2 (1/8)+1/4(0) =0
q'' = -1/6
sustituir q(t) por m
0.1m2 + m + ½ = 0
El valor de m lo hallamos a través de la ecuación cuadrática y tenemos que:
m1 = -5+2√5m2 = -5-2√5
Por tanto, nuestra ecuación auxiliar es:
qt)=C1e^(m1t)+C2e^(m2t)
q (t) = C1e^(-5+2√5)t + C2e^(-5-2√5)t (I)
Evaluamos la ecuación (I) en las condiciones iniciales
q(0)=C1+C2 (II)
q'(t)= (-5+2√5)C1e^(-5+2√5)t + (-5-2√5)C2e^(-5-2√52)t
q'(0)=(-5+2√5)C1 + (-5-2√5)C2 (III)
10- C1=C2 (IV)-(-5+2√5)C1/(-5-2√5) = C2 (V)
Por igualación vamos a igualar (IV) y (V) para encontrar el valor de las constantes:
10 - C1= -(-5+2√5)C1 / (-5-2√5)
10 = -(-5+2√5)C1 / (-5-2√5)+C1
10 = C1(-(-5+2√5)/(-5-2√5)+1)
10 = C1(-8+4√5)
C1 = 10 / (-8+4√5)
C2 = 10-10/(-8+4√5)
Nuestra ecuación final será:
q(t)= 10 / (-8+4√5)e^(-5+2√5)t + [10-10/(-8+4√5)]e^(-5-2√52)t