drut o długości 8 m. podzielono na dwie części. Jedną część zgięto w kwdrat, a drugą-w okrąg. Przy j.... Question from @karoolcia94

October 2018 1 15 Report

drut o długości 8 m. podzielono na dwie części. Jedną część zgięto w kwdrat, a drugą-w okrąg. Przy jakim podziale drutu suma pól kwadratu i koła ograniczonego otrzymanym okręgiem jest najmniejsza?

emka33

Przyjmijmy, że kwadrat ma bok długości a czyli na jego zbudowanie potrzebujemy drut długości 4a, okrąg ma promień r i na jego zbudowanie potrzebujemy drut długości takiej jak obwód tego okręgu czyli 2 pi r

Zatem: $8 = 4a + 2\pi r$ czyli $4a = 8 - 2\pi r\\ a = 2 - \frac{1}{2}\pi r$

$P = P_k + P_o\\ P = a^2 + \pi r^2\\ P= (2 - \frac{1}{2}\pi r)^2 + \pi r^2\\ f(r) = 4 - 2\pi r + \frac{1}{4}\pi^2 r^2 + \pi r^2\\ f(r) = (\frac{1}{4}\pi^2 + \pi) r^2 - 2\pi r + 4\\$

otrzymaliśmy funkcję której wykresem jest parabola z ramionami skierowanymi w górę, zatem najmniejszą wartość przyjmuje na wierzchołku czyli dla r = p

$a = \frac{1}{4}\pi^2 + \pi,\ \ \ b = - 2\pi,\ \ \ c = 4\\ p = -\frac{b}{2a} = -\frac{- 2\pi}{2\cdot (\frac{1}{4}\pi^2 + \pi)} = \frac{2\pi}{2\pi\cdot (\frac{1}{4}\pi +1)} = \frac{1}{\frac{\pi + 4}{4}} = \frac{4}{\pi + 4}$

czyli $r = \frac{4}{\pi + 4}$

Zatem $a = 2 - \frac{1}{2}\pi r\\ a = 2 - \frac{\pi}{2}\frac{4}{\pi + 4}\\ a = 2 - \frac{2\pi}{\pi + 4}\\ a = \frac{2(\pi + 4)}{\pi + 4} - \frac{2\pi}{\pi + 4}\\ a = \frac{2\pi + 8-2\pi}{\pi + 4}\\ a = \frac{8}{\pi + 4}\\$

czyli drut trzeba podzielić na odcinki: $4a = 4\cdot (\frac{8}{\pi + 4}) = \frac{32}{\pi + 4}\\ i\\ 2\pi r = 8 - 4a = \frac{8(\pi + 4)}{\pi + 4} - \frac{32}{\pi + 4}=\frac{8\pi + 32 - 32}{\pi + 4} = \frac{8\pi}{\pi + 4}$

2 votes Thanks 2

w ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość a, natomiast kąt płaski ściany bocznej przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę alfa. obicz ploe P przekroju tego ostrosłupa do jego krawędzi bocznej i zawierającą krawędź podstawy tego ostrosłupa.

Answer

karoolcia94 October 2018 | 0 Replies

Kształt projektowanego stadionu o obwodzie 1400 m przedstawiono na rysunku obok. wyznacz takie wymiary r i a dla których powierzchnia prostokątnej części stadionu będzie największa.

Answer

w ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość a, natomiast kąt płaski ściany bocznej przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę alfa. obicz ploe P przekroju tego ostrosłupa do jego krawędzi bocznej i zawierającą krawędź podstawy tego ostrosłupa.

Kształt projektowanego stadionu o obwodzie 1400 m przedstawiono na rysunku obok. wyznacz takie wymiary r i a dla których powierzchnia prostokątnej części stadionu będzie największa.

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social