Dos traslaciones que hay que efectuarle a la gráfica de la función h(x) = x2 para obtener la gráfica de h(x) = x2 - 4x + 5 son:
A.
cuatro unidades a la izquierda y cinco unidades hacia arriba.
B.
cuatro unidades a la derecha y cinco unidades hacia arriba.
C.
dos unidades hacia la izquierda y una unidad hacia abajo.
D.
dos unidades hacia la derecha y una hacia arriba.
A.
cuatro unidades a la izquierda y cinco unidades hacia arriba.
B.
cuatro unidades a la derecha y cinco unidades hacia arriba.
C.
dos unidades hacia la izquierda y una unidad hacia abajo.
D.
dos unidades hacia la derecha y una hacia arriba.
La gráfica se desplaza dos unidades hacia la derecha y una unidad hacia arriba
Siendo la opción correcta la D
Solución
Se pide hallar las traslaciones que hay que efectuarle a la gráfica de la función:
[tex]\bold{h(x) =x^{2} }[/tex]
Para obtener la gráfica de la función:
[tex]\bold{h(x) =x^{2}-4x+5 }[/tex]
Por lo tanto la transformación pedida es de:
[tex]\large\boxed{\bold { h(x) = x^{2} \to h(x) =x^{2} -4x +5 }}[/tex]
Donde
[tex]\boxed{\bold { h(x) =x^{2} -4x +5 }}[/tex]
Responde a una función de la forma
[tex]\large\boxed{ \bold { ax^2+bx+c}}[/tex]
[tex]\large\textsf {Donde a = 1, b = -4 y c = 5 }[/tex]
La cual se puede reescribir en la forma canónica o de vértice de una parábola
La ecuación de una parábola con vértice (h ,k) está dada por:
[tex]\large\boxed {\bold{ y = (x-h)^{2} + k}}[/tex]
Donde hallaremos el vértice de la transformación para reemplazar luego los valores de (h, k) en la forma canónica o de vértice
Por tanto hallamos el vértice de
[tex]\large\boxed{\bold { h(x) =x^{2} -4x +5 }}[/tex]
El valor mínimo de una función cuadrática cóncava hacia arriba ocurre en su vértice y está dado por:
[tex]\boxed{ \bold{ x = - \frac{b}{2a} \ \ \ \ \ \to f \left( - \frac{b}{2a}\right) }}[/tex]
Hallaremos luego el valor de:
[tex]\boxed{ \bold{ x = - \frac{b}{2a} }}[/tex]
Reemplazando los valores de a y b
[tex]\boxed{ \bold{ x = - \frac{-4}{2 \ . \ 1 } }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{ x = \frac{4}{2 } }}[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold{ x = 2 }}[/tex]
Sustituimos la variable x con 2 en la expresión:
[tex]\large\boxed{\bold { h(x) =x^{2} -4x +5 }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold { h(2) =(2)^{2} -4 \ . \ 2 +5 }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold { h(2) =4 -8 +5 }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold { h(2) =5+4 -8 }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold { h(2) =9 -8 }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold { h(2) =1 }}[/tex]
Pudiendo afirmar que el vértice de la parábola de la transformación se da en el par ordenado:
[tex]\large\boxed{ \bold{V(h, k ) = V (2 , 1 )}}[/tex]
Reemplazamos los valores del vértice en la forma
[tex]\large\boxed {\bold{ y = (x-h)^{2} + k}}[/tex]
Obteniendo
[tex]\large\boxed {\bold{ y = (x-2)^{2} + 1}}[/tex]
Por lo tanto comparamos ambas funciones
Traslación horizontal
El desplazamiento horizontal depende del valor de h
El desplazamiento horizontal se expresa como:
[tex]\large\boxed{\bold { h(x) = h(x-h) }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazando }[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold { h(x) = h(x-2) }}[/tex]
Por lo tanto la gráfica se desplaza hacia la derecha dos unidades
Traslación vertical
El desplazamiento vertical depende del valor de k
El desplazamiento vertical se expresa como:
[tex]\large\boxed{\bold { h(x) = h(x) +k }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazando }[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold { h(x) = h(x) +1 }}[/tex]
Por lo tanto la gráfica se desplaza hacia arriba una unidad
Se adjunta gráfico