Question

Dos lamparas de 5 y 20 candelas estan separadas una distancia de 150 cm. Determinar un punto sobre la recta que las une y situado entre ellos, en el que las iluminancias producidas por las dos lamparas sean iguales.
Ayudenme xfa.

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El punto sobre la recta que las une y situado entre ellos, en el que las iluminancias producidas por las dos lamparas sean iguales es de 57,92 cm

Datos:

S1 = 5 cm²

S2 = 50 cm²

d = 150 cm

Determinar un punto sobre la recta que las une y situado entre ellos, en el que las iluminancias producidas por las dos lamparas sean iguales.

La iluminación total entre las dos fuentes de luz, entonces

It(x) = I1(x) + I2(x)

x: es la distancia que las separa

De acuerdo a lo que dices de la iluminación en función de la distancia y de la intensidad, tenemos que

I1(x) = S1/x²

I2(x) = S2/(d-x)²

It(x) = S1/x² + S2/(d-x)²

El punto donde es mínima la iluminación se cumple que: dIt/dx = 0

dIt/dx = dI1/dx + dI2/dx

dI1/dx = d(S1/x²)/dx = -2S1/x³

dI2/dx = d(S2/(d-x)²)/dx = 2S2/(d-x)³

dIt/dx = -2S1/x³ + 2S2/(d-x)³

Igualamos a cero para obtener el minimo:

-2S1/xmin³ + 2S2/(d-xmin)³ = 0

S2*xmin³ = S1*(d-xmin)³

(S2/S1)*xmin³ = (d-xmin)³

Sacamos raiz cubica en ambos lados, y hacemos

K = ∛(S2/S1), nos queda:

K*xmin = d-xmin

(1+k)xmin = d

xmin = d/( 1+√(S2/S1) )

Suponiendo que x=0 es la posición de S1, y que x=d es la posición de S2, el mínimo de iluminación será en:

xmin = d/( 1+∛(S2/S1) )

x min = 150/1+∛4 = 57,92 cm