Question

Dla jakich wartości współczynników a,b,c wielomian :

W(x)= x³+ ax²- bx + c

jest podzielny przez trójmian x² - 3x +2 i przy dzieleniu przez dwumian x +1 daje resztę -24

Proszę o szybką odpowiedź :)

Answer 1

Jeżeli W(x) przy dzieleniu przez x + 1 daje resztę  -24  to znaczy, ze

W(-1) = -24

czyli  (-1)^3 +a*(-1)^2 -b*(-1) + c = - 24

-1 +a +b + c = -24

a +b +c = -23

=============

Po podzieleniu W(x)  przez x^2 -3x + 2  otrzymamy w wyniku

x +a + 3  oraz resztę (3a -b +7)x - 2a + c - 6

Aby W(x) był podzielny przez x^2 -3x + 2  musu ta reszta być równa 0,

a zatem

3a -b +7 = 0

-2a +c - 6 = 0  oraz mamy

a+b+c = - 23

----------------

b = 3a + 7

-2a + c = 6

a + (3a +7) +c = -23

-------------------------

b = 3a + 7

-2a +c = 6

4a +c = -30

--------------------

Od  3 równania odejmujemy 2 i otrzymamy

4a -(-2a) = -30 - 6

6a = - 36  / : 6

a = - 6

======

b = 3*(-6) + 7 = -18 + 7 = -11

==========================

c = -30 -4a = -30 -4*(-6) = -30 + 24 = - 6

=====================================

Odp. a = -6, b = -11, c = -6