Digit satuan dari 1357¹²³ + 2468³²¹ adalah ___ (itu memang ada 10 opsi) A. 1B. 2C. 3D. 4E. 5F. 6G. 7.... Question from @RiffatSyafiAzka

August 2022 1 38 Report

Digit satuan dari 1357¹²³ + 2468³²¹ adalah ___ (itu memang ada 10 opsi)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
F. 6
G. 7
H. 8
I. 9
J. 0

henriyulianto

Verified answer

Digit satuan dari 1357¹²³ + 2468³²¹ adalah 1.

(opsi A)

Pembahasan

Untuk menentukan digit satuan dari bilangan berpangkat, perlu diingat bahwa digit satuan hasil perkalian selalu ditentukan oleh perkalian digit satuan bilangan yang dikalikan. Sedangkan digit satuan dari penjumlahan bilangan adalah sisa pembagian dari penjumlahan digit-digit satuannya oleh 10.

Cara Pertama

Menentukan digit satuan dari 1357¹²³.

Digit satuan dari 1357 adalah 7. Oleh karena itu, digit satuan dari 1357¹²³ sama dengan digit satuan dari 7¹²³.

Pola digit satuan hasil perpangkatan dari 7 adalah perulangan dari [7, 9, 3, 1]. Sehingga, digit satuan dari 7¹²³ adalah suku ke-n pada pola di atas, di mana n merupakan sisa pembagian bilangan pangkatnya oleh 4, jika bilangan pangkatnya tidak habis dibagi 4. Suku ke-4 adalah digit satuan untuk pangkat yang habis dibagi 4.

123 : 4 = 30 sisa 3.

Maka, digit satuan dari 7¹²³ yang juga merupakan digit satuan dari 1357¹²³ adalah suku ke-3, yaitu 3.

Menentukan digit satuan dari 2468³²¹

Digit satuan dari 2468 adalah 8. Oleh karena itu, digit satuan dari 2468³²¹ sama dengan digit satuan dari 8³²¹.

Pola digit satuan hasil perpangkatan dari 8 adalah perulangan dari [8, 4, 2, 6].

321 : 4 = 80 sisa 1.

Maka, digit satuan dari 8³²¹ yang juga merupakan digit satuan dari 2468³²¹ adalah suku ke-1 dari pola [8, 4, 2, 6], yaitu 8.

Menentukan digit satuan dari 1357¹²³ + 2468³²¹

Jumlah digit satuan dari 1357¹²³ dan 2468³²¹ adalah 3 + 8 = 11. Sisa pembagiannya oleh 10 adalah 1, karena 11 = 10×1 + 1.

∴ Jadi, digit satuan dari 1357¹²³ + 2468³²¹ adalah 1.

Cara Kedua: Dengan aritmetika modular

Kita dapat memanfaatkan fungsi modulo, yaitu sisa pembagian suatu bilangan oleh bilangan yang lain, yang dinyatakan oleh:

$\begin{aligned}a\!\!\mod b=m\end{aligned}$

Artinya, a dibagi b bersisa m.

Sifat fungsi modulo yang akan digunakan pada persoalan ini adalah:

$\begin{aligned}&\textsf{Penjumlahan}\\&\rightsquigarrow (a+b)\!\!\mod c\\&\quad\ =\left((a\!\!\mod c)+(b\!\!\mod c)\right)\!\!\mod c\\&\textsf{Perkalian}\\&\rightsquigarrow (a\times b)\!\!\mod c\\&\quad\ =\left((a\!\!\mod c)\times(b\!\!\mod c)\right)\!\!\mod c\\&\textsf{Perpangkatan}\\&\rightsquigarrow a^b\!\!\mod c=(a\!\!\mod c)^b\end{aligned}$

Penyelesaian:

Digit satuan dari 1357¹²³ + 2468³²¹ dinyatakan oleh:

(1357¹²³ + 2468³²¹) mod 10

$\begin{aligned}&\bf\left(1357^{123}+2468^{321}\right)\!\!\mod10\\{=\ }&\left(\begin{array}{c}\left(1357^{123}\!\!\mod10\right)\\{}+\left(2468^{321}\!\!\mod10\right)\end{array}\right)\!\!\mod10\\{=\ }&\left(\begin{array}{c}(1357\!\!\mod10)^{123}\!\!\mod10\\{}+(2468\!\!\mod10)^{321}\!\!\mod10\end{array}\right)\!\!\mod10\\{=\ }&\left(\begin{array}{c}7^{123}\!\!\mod10\\{}+8^{321}\!\!\mod10\end{array}\right)\!\!\mod10\quad...(i)\end{aligned}$

$\begin{aligned}&\bf7^{123}\!\!\mod10\\{=\ }&\left(\left(7^2\right)^{61}\cdot7\right)\!\!\mod10\\{=\ }&\left(49^{61}\cdot7\right)\!\!\mod10\\{=\ }&\left(\left((49\!\!\mod10)^{61}\!\!\mod10\right)\cdot(7\!\!\mod10)\right)\!\!\mod10\\{=\ }&\left(\left(9^{61}\!\!\mod10\right)\cdot(7\!\!\mod10)\right)\!\!\mod10\\{=\ }&\left(\left((9\!\!\mod10)^{61}\!\!\mod10\right)\cdot(7\!\!\mod10)\right)\!\!\mod10\\{=\ }&\left(\left((-1)^{61}\!\!\mod10\right)\cdot(7\!\!\mod10)\right)\!\!\mod10\end{aligned}$

$\begin{aligned}{=\ }&\left((-1)\!\!\mod10)\cdot(7\!\!\mod10)\right)\!\!\mod10\\{=\ }&(-7)\!\!\mod10\\{=\ }&{\bf3}\quad\left[\ \because\ (-7)+10=3\ \right]\end{aligned}$

$\begin{aligned}&\bf8^{321}\!\!\mod10\\{=\ }&\left(\left(8^2\right)^{160}\cdot8\right)\!\!\mod10\\{=\ }&\left(64^{160}\cdot8\right)\!\!\mod10\\{=\ }&\left(\left(64^{160}\!\!\mod10\right)\cdot(8\!\!\mod10)\right)\!\!\mod10\\{=\ }&\left(\left((64\!\!\mod10)^{160}\!\!\mod10\right)\cdot(8\!\!\mod10)\right)\!\!\mod10\\{=\ }&\left(\left(4^{160}\!\!\mod10\right)\cdot(8\!\!\mod10)\right)\!\!\mod10\\{=\ }&\left(\left((4^2)^{80}\!\!\mod10\right)\cdot(8\!\!\mod10)\right)\!\!\mod10\end{aligned}$

$\begin{aligned}{=\ }&\left(\left(16^{80}\!\!\mod10\right)\cdot(8\!\!\mod10)\right)\!\!\mod10\\{=\ }&\left(\left((16\!\!\mod10)^{80}\!\!\mod10\right)\cdot(8\!\!\mod10)\right)\!\!\mod10\\{=\ }&\left(\left(6^{80}\!\!\mod10\right)\cdot(8\!\!\mod10)\right)\!\!\mod10\\&\rightsquigarrow\ 6^n\!\!\mod10=6\\{=\ }&\left((6\!\!\mod10)\cdot(8\!\!\mod10)\right)\!\!\mod10\\{=\ }&\left(6\cdot8\right)\!\!\mod10\\{=\ }&48\!\!\mod10\\{=\ }&\bf8\end{aligned}$

Substitusi hasil-hasil tersebut ke (i).

$\begin{aligned}&\left(1357^{123}+2468^{321}\right)\!\!\mod10\\{=\ }&\left(\begin{array}{c}7^{123}\!\!\mod10\\{}+8^{321}\!\!\mod10\end{array}\right)\!\!\mod10\\{=\ }&(3+8)\!\!\mod10\\{=\ }&11\!\!\mod10\\{=\ }&\boxed{\ \bf1\ }\end{aligned}$