Question

Demostrar que la ecuación: 4x2 – 20x – 24y + 97 = 0 representa una parábola. Determine:
a. Vértice
b. Foco
c. Directriz

Answer 1

Ecuación de la parábola: (x - h)^2 = 4p (y - k)

vértice: (h, k)

4x^2 - 20x - 24y + 97 = 0

Es una parábola cuyo eje es paralelo al eje Y. Haciendo reducción de la ecuación y completando cuadrado en x:

(x - 5/2)^2 = 6 (y - 3)

Las coordenadas del vértice son (5/2 , 3)

4p = 6
p = 3/2 (Parábola abre hacia arriba. 

El foco está sobre el eje y dicho eje es paralelo al eje Y, entonces coordenadas del foco (5/2, 3 + 3/2) = (5/2, 9/2).

Para la directriz, la ecuación será:

y = 3 - 3/2
y = 3/2

Answer 2

Primero vamos a factorizar la ecuación para darle la forma canónica:

24 y = 4x^2 - 20x + 97
24y = 4x^2 - 20x + 97
24y = (2x - 5)^2 + 72

24(y - 3) = (2x - 5)^2

ahora, la parábola tiene la ecuación:

(x - a)^2 = 2p(y - b)
(2x - 5)^2 = 24(y - 3)
2^2(x - 5/2)^2 = 24(y - 3)
4(x - 5/2)^2 = 24(y - 3)
(x - 5/2)^2 = 6(y - 3)

podemos ver que esa es la forma de nuestra ecuación, por lo tanto es una parábola con:
- Vértice: V(a,b)
V(5/2, 3)

- Foco: F(a, b + p/2)
F(5/2, 3 + 3/2)
F(5/2, 6/2 + 3/2)
F(5/2, 9/2)

- Directriz: y = b - p/2
y = 3 - 3/2 = 3/2