Question

De un grupo de 1800 estudiantes, el número de los que sólo rindieron el segundo examen, es la mitad de los que rindieron el primero. El número de los que rindieron solo el primer examen es el triple de los que rindieron ambos examenes e igual al de los que no rindieron ningún examen. ¿Cuántos rindieron al menos un examen? ​

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Solución: La cantidad de estudiantes que rindió al menos un examen es 1200, la cantidad que rindió el primer examen es 800 y el segundo examen es 600, por ultimo la cantidad de estudiantes que rindieron ambos exámenes es 200.

Explicación paso a paso:

Llamemos A al conjunto de alumnos que rindieron el primer examen, B al conjunto de alumnos que rindieron el segundo examen.

El cardinal  o tamaño de un conjunto se representa bajo el símbolo | | donde el cardinal de un conjunto C es |C|.

Los que solo rindieron el segundo sera los que rindieron el segundo menos lo que rindieron el segundo y el primero, es decir: |B|-|A∩B| y estos son la mitad de lo que rindieron el primero, es decir:

|A| = 2*(|B|-|A∩B|) ⇒|A| =  2|B|-2|A∩B|

Los que solo rindieron el primer examen sera los que rindieron el primero menos lo que rindieron el segundo y el primero, es decir: |A|-|A∩B| y estos es el triple de los que rindieron ambos exámenes , es decir:

|A|-|A∩B| = 3 *|A ∩ B|

Además esto también es igual a lo que no rindieron ningún examen, que sera el complemento de la unión de los dos conjuntos, como en total hay 1800 estudiantes, entonces sera 1800  menos la unión de ambos conjuntos, es decir:

|A|-|A∩B| = 3 *|A ∩ B|  = 1800- |A ∪ B|

Por lo tanto, tenemos:

1. |A| = 2|B|-2|A∩B|

|A|-|A∩B| = 3 *|A ∩ B| = 1800- |A ∪ B|

⇒ 2.   |A ∪ B| = 1800 -  3 *|A ∩ B|

⇒ 3. |A|= 4 *|A ∩ B|  

Y por formula de probabilidad:

4. |A ∪ B | = |A|+|B| - |A∩B|

Sustituimos la ecuación 3 en la ecuación 1:

4|A∩B| = 2|B|-2|A∩B|

⇒ 6|A∩B| = 2|B|

5. |B| = 3 |A∩B|

Ahora sustituimos las ecuaciones 2,3 y 5 en la ecuación 4:

1800 -  3 *|A ∩ B|= 4 *|A ∩ B| +3 |A∩B| - |A∩B|

Despejando

1800 = 9 |A∩B|

|A∩B| = 1800/9 = 200

Sustituyendo ahora en 2, 3 y 5:

|A ∪ B| = 1800 -  3 *200 = 1200

|A|= 4 *200 = 800

|B|= 3 *200 = 600

La cantidad de estudiantes que rindió al menos un examen es 1200, la cantidad que rindió el primer examen es 800 y el segundo examen es 600, por ultimo la cantidad de estudiantes que rindieron ambos exámenes es 200.