Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 20 cm i 40 cm. Średnicą okręgu jest dłuższa przypr.... Question from @Chomik2000

Chomik2000 @Chomik2000

December 2018 1 13 Report

Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 20 cm i 40 cm. Średnicą okręgu jest dłuższa przyprostokątna, która dzieli przeciwprostokątną na dwie części. Oblicz długości tych odcinków

irenas Narysuj trójkąt prostokątny ABC o przeciwprostokątnej BC, w którym:
$|AB|=40cm\\|AC|=20cm\\|BC|^2=20^2+40^2=400+1600=2000\\|BC|=20\sqrt{5}cm$

Zaznacz punkt O- środek przyprostokątnej AB.
Naszkicuj okrąg o środku O i promieniu
$r=\frac{|AB|}{2}=20cm$

Okrąg ten przechodzi przez punkty A i B oraz przecina przeciwprostokątną BC w punkcie D
Poprowadź odcinek AD.

Kąt ADB jest kątem prostym.
Trójkąty ABC i ABD to prostokątne trójkąty podobne (mają wspólny kąt ostry o wierzchołku B)

Oznacz:
$|BD|=x$

Z podobieństwa trójkątów:
$\frac{|BD|}{|AB|}=\frac{|AB|}{|BC|}\\\frac{x}{40}=\frac{40}{20\sqrt{5}}\\20\sqrt{5}x=1600\\\sqrt{5}x=80\\5x=80\sqrt{5}\\x=16\sqrt{5}cm$

$|BD|=16\sqrt{5}cm\\|CD|=20\sqrt{5}-16\sqrt{5}=4\sqrt{5}cm$