Question

dany jest trojkat prostokatny w ktorym przyprostokatna do kata α ma dlugosn n, gdzie n>1. druga przyprostokatna jest o 1 krotsza od przeciwprostokatnej. wykaż ze sinα+cosα= n^2+2n-1:n^2+1

Answer 1

Mamy

c^2 = ( c - 1)^2 + n^2

c^2 = c^2 -2 c + 1 + n^2

2 c = n^2 + 1

c = 0,5 ( n^2 + 1)  = 0,5 n^2 + 0,5  =  ( n^2 + 1) / 2

zatem

sin alfa = ( c - 1) / c = 1 -  1/ c =  1 -   2/ ( n^2 + 1) = ( n^2 + 1) / ( n^2 + 1) - 2 / ( n^2 + 1) =

= ( n^2 - 1) / ( n^2 + 1)

cos alfa =  n / c = n / [ 0,5 n^2 + 0,5 ] = 2n / [ n^2 + 1]

więc

sin alfa + cos alfa = ( n^2 - 1) / ( n^2 + 1) +  2n / ( n^2 + 1) = ( n^2 + 2n - 1) / ( n^2 + 1 )

=================================================================