Question

dany jest trojkat o dlugosci bokow 8,12,x. stosunek miar katow przyleglych do boku x jest rowny 1:2. oblicz dlugosc boku x trojkata.

odp: x=10

Answer 1

Kąty tego trójkąta mają miary

alfa, 2 alfa, 180 - 3 alfa

Z tw. sinusów mamy

8/ sin alfa = 12 /sin 2 alfa

8/ sin alfa = 12 / ( 2 sin alfa* cos alfa)   / * sin alfa

8 = 6/ cos alfa

6 = 8*cos alfa

cos alfa = 6/8 = 3/4

====================

Z tw. cosinusów mamy

x^2 = 8^2 + 12^2 - 2*8*12* cos (180 - 3 alfa)

x^2 = 64 + 144 - 192*( - cos 3 alfa)

x^2 = 208 + 192 *cos 3 alfa

ale

cos 3 alfa = 4 *cos^3 alfa - 3 cos alfa = 4*(3/4)^3 - 3*(3/4) = 4*(27/64) - 9/4 =

= 27/16 - 9/4 = 27/16 - 36/16 = - 9/16

Mamy więc

x^2 = 208 + 192*( -9/16) = 208 - 108 = 100

czyli

x = 10

===========