Dane są punkty A=(0,0), B=(3,0). Wyznacz figurę, która jest zbiorem punktów M=(x,y) spełniających wa.... Question from @rapsood

antekL1

Czytaj ^2 jako "do kwadratu"

Z warunku zadania wynika, że kwadraty |AM| i |BM| spelniają zależność:

|AM|^2 = 25|BM|^2

Obliczamy kwadraty odleglości:

|AM|^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2

|BM|^2 = (x - 3)^2 + (y - 0)^2 = (x - 3)^2 + y^2

Podstawiamy te kwadraty do początkowej zależności:

x^2 + y^2 = 25(x - 3)^2 + 25y^2

Wymnażamy nawias i przenosimy wszystko na jedną stronę

0 = -x^2 + 25x^2 - 150x - y^2 + 25y^2 + 225 ; porządkujemy

24x^2 - 150x + 24y^2 + 225 = 0

Dzielimy przez 24; można zapisać to następująco (dążę do równania okręgu)

x^2 - (150/24)x + y^2 + 225/24 = 0 ; dążymy do zapisu: (x - a)^2

(x - 75/24)^2 - (75/24)^2 + y^2 + 225/24 = 0

(x - 75/24)^2 + y^2 = 25/64

Otrzymaliśmy okrąg o środku w (75/24, 0) i promieniu 5/8.

A tak źle wyglądało na początku...

Roma

$A=(0; \ 0), \ B=(3; \ 0), \ M = (x; \ y) \ oraz \ |AM|= 5|BM|$

Długość odcinka o końcach w punktach $A = (x_1; \ y_1) \ i \ B = (x_2; \ y_2)$ wyraża się wzorem:

$|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Zatem:

$|AM| = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2} \\\ |BM| = \sqrt{(x - 3)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{x^2 - 6x + 9 + y^2}$

Wiemy, że:

$|AM|= 5|BM|$

Zatem:

$\sqrt{x^2 + y^2} = 5 \cdot \sqrt{x^2 - 6x + 9 + y^2} \ /^2\\\\ x^2 + y^2 = 25 \cdot (x^2 - 6x + 9 + y^2) \\\\ x^2 + y^2 = 25x^2 - 150x + 225 + 25y^2 \\\\ x^2 + y^2 - 25x^2 + 150x - 225 - 25y^2 = 0 \\\\ - 24x^2 - 24y^2 + 150x - 225 = 0 \ /:(-24) \\\\\ x^2 + y^2 - \frac{150}{24}x + \frac{225}{24} = 0 \\\\ x^2 + y^2 - \frac{25}{4}x + \frac{75}{8} = 0$

Równanie ogólne okręgu o środku S = (a, b) i promieniu $r = \sqrt{a^2 + b^2 - c}$ wyraża się wzorem:

$x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$

Zatem równanie:

$x^2 + y^2 - \frac{25}{4}x + \frac{75}{8} = 0$

jest równaniem okręgu

Wyznaczamy współrzędne środka tego okręgu:

$-2a = - \frac{25}{4} \ /:(-2) \\\\ a = \frac{25}{8} \\\\ a = 3\frac{1}{8} = 3,125$

oraz

$-2b = 0 \ /:(-2) \\\\ b =0$

Zatem środek okręgu ma współrzędne:

$S = (3,125; \ 0)$

Obliczamy długość promienia okręgu:

$r = \sqrt{(\frac{25}{8})^2 + 0^2 - \frac{75}{8}} = \sqrt{\frac{625}{64} - \frac{600}{64}} =\sqrt{\frac{25}{64}} =\frac{5}{8} =0,625$

Odp. Zbiór punktów M spełniających podany warunek wyznacza okręg o środku w punkcie (3,125; 0) i promieniu r = 0,625.

rozwiąż równanie: sinx · cos2x = 0, x∈<-pi; pi>

Ustal znak liczby sin2, jeżeli funkcja przyjmuje wzór f(x)=sinx

Wyrażenie 3/x+4 - 1/x-2 w postaci ilorazu dwóch wielomianów ma postać?

Zbiorem wartości funkcji kwadratowej f(x) = - x2 + 2ax – a2 - 2a jest przedział (-nieskończoność, -18 >. Zatem a jest równe?

Funkcja f(x)=3x + 2bx + 5 maleje w przedziale (-nieskończoność; 4) i rośnie w przedziale (4; +niesk.), wynika stąd, że b jest równe?

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social