Question

Dane są liczby x1, x2, x3. Uzasadnij, że w każdym z podanych przykładów średnia ważona jest taka sama.

Liczba : x1; x2; x3;
Waga: 3; 2; 5;


Liczba: x1; x2; x3;
Waga: 6 ; 4; 10;


Liczba: x1; x2; x3;
Waga: 0.3; 0.2; 0.5;

Answer 1

I)
Dane są liczby x₁, x₂, x₃,
ich wagi:
w₁ = 3, w₂ = 2, w₃ = 5,
średnia ważona = (w₁x₁ + w₂ x₂ + w₃x₃)/(w₁ + w₂ + w₃)=
(3x₁ + 2x₂ + 5x₃)/(3 + 2 + 5) =(3x₁ + 2x₂ + 5x₃)/10
{liczba pierwsza* jej waga + liczba druga* jej waga + liczba trzecia* jej waga = w₁x₁ + w₂ x₂ + w₃x₃ = 3x₁ + 2x₂ + 5x₃
otrzymaną sumę dzielimy przez sumę wag:
waga pierwsza + waga druga + waga trzecia = w₁ + w₂ + w₃=
3 + 2 + 5 = 10}
II)
Dane są liczby x₁, x₂, x₃,
ich wagi:
w₁ = 6, w₂ = 4, w₃ = 10,
średnia ważona = (w₁x₁ + w₂ x₂ + w₃x₃)/(w₁ + w₂ + w₃)=
(6x₁ + 4x₂ + 10x₃)/(6 + 4 + 10) =
[2*(3x₁ + 2x₂ + 5x₃)]/(2*10 ) = (3x₁ + 2x₂ + 5x₃)/10
licznik i mianownik ułamka skracamy przez 2
{liczba pierwsza* jej waga + liczba druga* jej waga + liczba trzecia* jej waga = w₁x₁ + w₂ x₂ + w₃x₃ = 6x₁ + 4x₂ + 10x₃
otrzymaną sumę dzielimy przez sumę wag:
waga pierwsza + waga druga + waga trzecia = w₁ + w₂ + w₃=
6+ 4 + 10 = 20}
III)
Dane są liczby x₁, x₂, x₃,
ich wagi:
w₁ = 0,3; w₂ = 0,2; w₃ = 0,5
średnia ważona = (w₁x₁ + w₂ x₂ + w₃x₃)/(w₁ + w₂ + w₃)=
(0,3x₁ + 0,2x₂ + 0,5x₃)/(0,3 + 0,2 + 0,5) =
[0,1*(3x₁ + 2x₂ + 5x₃)]/(0,1*10 ) = (3x₁ + 2x₂ + 5x₃)/10
licznik i mianownik ułamka skracamy przez 0,1
{liczba pierwsza* jej waga + liczba druga* jej waga + liczba trzecia* jej waga = w₁x₁ + w₂ x₂ + w₃x₃ = 0,3x₁ + 0,2x₂ + 0,5x₃
otrzymaną sumę dzielimy przez sumę wag:
waga pierwsza + waga druga + waga trzecia = w₁ + w₂ + w₃=
0,3 + 0,2 + 0,5 = 1}
Odp. Średnia ważona w każdym z tych przypadków jest taka sama.