Question

Dane są dwa trójkąty ABC i BCD takie, że AB=AC=3 pierwiastki z 10, BC= CD=6, BD=9,6. Rozstrzygnij, czy wierzchołki tych trójkątów leżą na jednym okręgu? Odpowiedź uzasadnij.

Answer 1

Aby rozstrzygnąć, czy wierzchołki trójkątów ABC i BCD leżą na jednym okręgu, należy najpierw ustalić, czy trójkąt BCD jest trójkątem prostokątnym. Można to zrobić z twierdzenia Pitagorasa, ponieważ mamy już dane wszystkie boki trójkąta BCD:

BC² + CD² = 6² + 6² = 72

BD² = 9,6² = 92,16

Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa:

BC² + CD² = BD²

72 = 92,16

Ponieważ równość ta nie zachodzi, trójkąt BCD nie jest trójkątem prostokątnym. Oznacza to, że punkty B, C i D nie leżą na jednym okręgu.

Wobec tego, aby sprawdzić, czy punkty A, B i C leżą na jednym okręgu, można skorzystać z twierdzenia o okręgach opisanych na trójkątach równoramiennych. Zgodnie z tym twierdzeniem, w trójkącie równoramiennym okrąg opisany przechodzi przez wierzchołki trójkąta i środek okręgu opisanego leży na wysokości opuszczonej z wierzchołka trójkąta na przeciwległą podstawę.

W przypadku trójkąta ABC o bokach o długości 3 pierwiastki z 10 i podstawie o długości 6, wysokość z wierzchołka A jest równa pierwiastkowi z 40. Oznacza to, że środek okręgu opisanego na trójkącie ABC leży na środkowej prostej AC.

Podobnie, w przypadku trójkąta BCD o bokach o długości 6 i 9,6 oraz podstawie o długości 6, wysokość z wierzchołka C jest równa pierwiastkowi z 7,84. Oznacza to, że środek okręgu opisanego na trójkącie BCD leży na prostej CD.

Ponieważ prosta CD jest prostopadła do prostej AC i przecina ją w punkcie C, to punkt C jest środkiem odcinka łączącego środki okręgów opisanych na trójkątach ABC i BCD. Oznacza to, że punkty A, B i C leżą na jednym okręgu.

Ostatecznie, odpowiedź brzmi: punkty A, B i C leżą na jednym okręgu, natomiast punkt D nie należy do tego okręgu.