Question

Dana jest funkcja kwadratowa f(x)= x^2-2x+3.Wykaż że ciąg (Xn) określony wzorem Xn= f(n+1)-f(n) jest arytmetyczny.

Answer 1

F(n+1)=(n+1)²-2(n+1)+3=n²+2n+1-2n-2+3=n²+2
f(n)=n²-2n+3
X(n)=f(n+1)-f(n)=n²+2-(n²-2n+3)=n²+2-n²+2n-3=2n-1
X(n)=2n-1

ciąg jest arytmetyczny wtedy kiedy X(n+1)-X(n)=r
X(n+1)=2(n+1)-1=2n+2-1=2n+1
X(n)=2n-1

X(n+1)-X(n)=2n+1-(2n-1)=2n+1-2n+1=2

ponieważ różnica jest stała, więc ciąg X(n) jest ciągiem arytmetycznym