En un día con 12 horas de claridad, se sabe, a partir de estudios empíricos que la intensidad de la luz solar I (en cal/cm^3 ) se puede describir adecuadamente mediante I=I_M 〖Sen〗^2 (πt/D) para 0 ≤ t ≤ D, donde D representa las horas de claridad y donde t=0 corresponde al amanecer e I_M es la máxima intensidad. Exactamente ¿a qué hora del día la intensidad es la mitad de la intensidad máxima?
Tres horas después del amanecer (6 am) la intensidad es la mitad de la intensidad máxima; es decir, a las 9 am la intensidad es la mitad de la intensidad máxima.
Explicación paso a paso:
Con el modelo matemático construimos una ecuación que nos permita calcular el tiempo en que la intensidad es la mitad de la intensidad máxima.
Sabemos que las horas de claridad son 12 y que la intensidad es la intensidad máxima dividida entre 2, entonces
[tex]\bold{I~=~I_{m}\cdot Sen^2(\dfrac{\pi\cdot t}{D})\qquad con\qquad I~=~\dfrac{I_{m}}{2}\qquad D~=~12}[/tex]
[tex]\bold{\dfrac{I_{m}}{2}~=~I_{m}\cdot Sen^2(\dfrac{\pi\cdot t}{12})\qquad\Rightarrow\qquad \sqrt{\dfrac{1}{2}}~=~Sen(\dfrac{\pi\cdot t}{12})\qquad\Rightarrow}[/tex]
[tex]\bold{\dfrac{\pi\cdot t}{12}~=~ArcSen(\sqrt{\dfrac{1}{2}})\qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{\pi\cdot t}{12}~=~\dfrac{\pi}{4}\qquad\Rightarrow\qquad t~=~\dfrac{\pi\cdot 12}{\pi\cdot 4}~=~3}[/tex]
Tres horas después del amanecer (6 am) la intensidad es la mitad de la intensidad máxima; es decir, a las 9 am la intensidad es la mitad de la intensidad máxima.