czwarty wyraz pewnego ciągu jest równy 9, a ósmy jest równy 81.Podaj pierwsze dwa wyrazy tego ciągu,jesli wiadomo,ze jest to : a)ciąg arytmetyczny B)ciąg geometryczny
czwarty wyraz pewnego ciągu jest równy 9, a ósmy jest równy 81.Podaj pierwsze dwa wyrazy tego ciągu,jesli wiadomo,ze jest to : a)ciąg arytmetyczny B)ciąg geometryczny
Aby obliczyć 2 pierwsze wyrazy obu ciągów obliczamy a₁ i r (dla ciągu arytmetycznego) i q (dla ciągu geometrycznego) za pomocą układu równań, z wykorzystaniem danych z zadania i wzórów ogólnych ciągów:
Ciąg arytmetyczny: an=a₁+(n-1)*r
Ciąg geometryczny: an=a₁*q do potęgi n-1
a) Ciąg arytmetyczny
an=a₁+(n-1)*r
{a₄=9
{a₈=81
{a₁+3r=9 /*(-1)
{a₁+7r=81
{-a₁-3r= -9
{a₁+7r=81
_________
4r=72
r=18
{r=18
{a₁+3r=9
{r=18
{a₁+54=9
{r=18
{a₁= -45
Mamy obliczyć wartość dwóch pierwszych wyrazów a a₁ już zostało obliczone. Mając obliczone a₁ i r obliczamy wartość a₂:
a₁= -45
an=a₁+(n-1)*r
a₂=a₁+r
a₂= -45+18
a₂= -27
Wartość dwóch pierwszych wyrazów ciągu: a₁= -45; a₂= -27
SPRAWDZENIE:
r=18
a₁= -45
a₄=9
a₁+3r=9
-45+3*18=9
-45+54=9
9=9
a₈=81
a₁+7r=81
-45+7*18=81
-45+126=81
81=81
b) Ciąg geometryczny
an=a₁*q do potęgi n-1
{a₄=9
{a₈=81
{a₁*q³=9 /:q³
{a₁*q⁷=81
{a₁=9/q³
{a₁*q⁷=81
{a₁=9/q³
{9/q³*q⁷=81
{a₁=9/q³
{9q⁴=81 /:9
{a₁=9/q³
{q⁴=9
{a₁=9/q³
{q=⁴√9
{a₁=9/⁴√9
{q=⁴√9
{a₁=9⁴√9 / 9
{q=⁴√9
{a₁=⁴√9
{q=⁴√9
Mamy obliczyć wartość dwóch pierwszych wyrazów a a₁ już zostało obliczone. Mając obliczone a₁ i q obliczamy wartość a₂:
a₁=⁴√9
an=a₁*q do potęgi n-1
a₂=a₁*q
a₂=⁴√9*⁴√9
a₂=⁴√81
a₂=3
Wartość dwóch pierwszych wyrazów ciągu: a₁= ⁴√9; a₂=3
SPRAWDZENIE
a₁=⁴√9
q=⁴√9
a₄=9
a₁*q³=9
⁴√9*⁴√9³=9
9 do potegi 1/4*9 do potęgi 3/4=9
9 do potęgi 4/4=9
9¹=9
9=9
a₈=81
a₁*q⁷=81
⁴√9*⁴√9⁷=81
9 do potęgi 1/4*9 do potęgi 7/4=81
9 do potęgi 8/4=81
9²=81
81=81