Cyfry 0,3,4,6,9 ustawiamy w sposób losowy tak, aby utworzyły liczbę pięciocyfrową. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że otrzymamy:
a) liczbę pięciocyfrową mniejszą od 65 432
b) liczbę pięciocyfrową podzielną przez 4
a) liczbę pięciocyfrową mniejszą od 65 432
b) liczbę pięciocyfrową podzielną przez 4
[tex]\huge\begin{array}{ccccc}a)&\dfrac{11}{16};&\qqud&b)&\dfrac{5}{16}.\end{array}[/tex]
Rachunek prawdopodobieństwa.
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa:
[tex]P(A)=\dfrac{|A|}{|\Omega|}[/tex]
[tex]A[/tex] - zbiór zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu [tex]A[/tex]
[tex]\Omega[/tex] - zbiór wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych
[tex]|A|,\ |\Omega|[/tex] - moc zbioru (liczba elementów zbioru)
ROZWIĄZANIE:
[tex]\Omega[/tex] - zbiór wszystkich liczb pięciocyfrowych o różnych cyfrach, zbudowanych z cyfr {0, 3, 4, 6, 9}
[tex]|\Omega|=4\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=96[/tex]
Wszystkich cyfr mamy 5 do wyboru. Na pierwsze miejsce mamy do wybory 4 cyfry ponieważ liczba nie może zaczynać się od 0. Na drugiem miejsce mamy do wyboru ponownie 4 cyfry ponieważ jedna została wybrana wcześniej, ale dochodzi cyfra 0. Na kolejne zostały 3 cyfry itd.
a)
[tex]A[/tex] - otrzymano liczbę pięciocyfrową mniejszą od 65 432
[tex]|A|:[/tex]
Rozłożymy obliczenie ilości liczb spełniających warunek, na dwie części:
1. Ilość liczb z cyfrą 6 na początku:
[tex]1\cdot3\cdot3\cdot2\cdot1=18[/tex]
1 - pierwsza cyfra to 6
3 - na drugie miejsce mamy do wyboru 3 cyfry: 0, 3 i 4
Na następne uwzględniamy ilość cyfr użytych wcześniej.
2. Ilość cyfr z pierwszą cyfrą 3 lub 4:
[tex]2\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=48[/tex]
stąd
[tex]|A|=18+48=66[/tex]
Obliczamy prawdopodobieństwo:
[tex]P(A)=\dfrac{66}{96}=\dfrac{11}{16}[/tex]
b)
[tex]B[/tex] - otrzymano liczbę pięciocyfrową podzielną przez 4
Cecha podzielności przez 4: ostatnie dwie cyfry tworzę liczbę podzielną przez 4.
Układamy wszystkie możliwe liczby dwucyfrowe podzielne przez 4:
04, 36, 40, 60, 64, 96
Podzielmy je na dwie grupy:
1. Z cyfrą 0. Wówczas takich liczb jest:
[tex]3\cdot(3\cdot2\cdot1\cdot1\cdot1)=18[/tex]
2. Bez cyfry 0. Wówczas takich liczb jest:
[tex]3\cdot(2\cdot2\cdot1\cdot1\cdot1)=12[/tex]
stąd
[tex]|B|=18+12=30[/tex]
Obliczamy prawdopodobieństwo:
[tex]P(B)=\dfrac{30}{96}=\dfrac{5}{16}[/tex]