Question

Cual es la integral de sen^4xdx paso por paso porfavor

Answer 1

Integral indefinida:
∫ sen⁴x dx
Sabiendo que:
sen²x= (1-cos (2x))/2
cos²x= (1+cos(2x))/2
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∫ sen⁴x dx =∫(1-cos (2x)/2)² dx = ∫1/4 (1- cos (2x))² dx) 
=1/4∫(1 - 2cos(2x) + cos²(2x)) dx
=1/4(∫dx - ∫2 cos (2x) dx + ∫  cos²(2x) dx

Resolvamos las integrales:
∫dx = x+c (Integral directa)

∫2cos (2x) dx = ∫2cos (2x) dx, haciendo u= 2x  (Por sustitución)
du/dx = 2..........dx= du/2          
 =∫2 cos (u) du/2  = ∫cos (u) du = sen u = sen (2x) +c

∫ cos²(2x) dx = ∫(1+cos(4x))/2 = 1/2 (∫dx + ∫cos (4x) dx)
∫cos (4x) dx = 1/4 ∫4 cos (4x) dx
u= 4x..............du/dx = 4..........dx=du/4
1/4 ∫4 cos (u) du/4 = 1/4 ∫cos (u) du = 1/4 sen (u) = 1/4 sen (4x)

Nos queda entonces:
∫ cos²(2x) dx = 1/2(x +  1/4 sen (4x)) + c

Ahora demos respuesta a la integral planteada:
∫ sen⁴x dx= 1/2 (x + sen (2x) +  1/2(x + 1/4 sen (4x))) + c
= 1/4(3x/2 -sen (2x) + 1/8 sen (4x)) + c   
 =1/32(12x- 8 sen (2x)  + sen (4x)) + c