Question

Cual es la diferencia entre el gato se acercaba y el gato se sigilosamente

Answer 1

La pregunta está empleada incorrectamente, seguramente lo que tratabas de decir era: El gato se acercaba sigilosamente.

Volviendo a tu pregunta, la respuesta sería: El gato se acerca suena más informal, que: El gato se acercaba sigilosamente.
En la primera estás dando a entender que el gato se aproximaba a un lugar.
Sin embargo, en la segunda explicas que le gato se acercaba "con cuidado", a un lugar.