Question

Demuestra cada identidad:
A) sen x - sec x = tan x
B) cos²x (tan²x+1) = 1
C) sen x/cos x - tan x/ctg x = 1

Answer 1

EJERCICIO a ).- .....................1 -- tan*2 x sen*2 x + ( ------------------- ) = cos*2 x ........................sec*2 x colocando la secante y la tangente en función de seno y coseno : ..............................sen*2 x ..................( 1 -- ------------ ) .............................cos*2 x sen*2 x + ---------------------------- = .............................1 .....................( ------------ ) ........................cos*2 x seguimos efectuando operaciones en numerador y denominador : ..................cos*2 x -- sen*2 x ...............( --------------------------- ) .........................cos*2 x sen*2 x + ---------------------------- = .............................1 .....................( ------------ ) ........................cos*2 x Eliminamos cos*2 x arriba y abajo y nos queda : ..................cos*2 x -- sen*2 x sen*2 x + ---------------------------- = .............................1 casi terminamos : sen*2 x + cos*2 x -- sen*2 x = ............................... cos*2 x = cos*2 x.........DEMOSTRACIÓN EJERCICIO b ).- senx / 1 -- cos x = 1 + cosx / senx A la identidad de la izquierda del paréntesis, vamos a multplicarle el numerador y el denominador por sen x ( Artificio matemático ) .......sen x...........sen x ..--------------- x ...--------- = .. 1 -- cos x.........sen x efectuando las operaciones obtenemos : ...........sen*2 x ..------------------------------ = ( 1 -- cos x ) ( sen x ) Sabendo que : sen*2 x + cos*2 x = 1, en el numerador colocamos : ........1 -- cos*2 x ..------------------------------ = ( 1 -- cos x ) ( sen x ) Recordando el álgebra, en el numerador tenemos una diferencia de cuadrados que podemos factorizar : a2 -- b2 = (a+b ) ( a-b) .( 1 + cos x ) ( 1 -- cos x ) ..------------------------------------ = ....( 1 -- cos x ) ( sen x ) Eliminamos ( 1 -- cos x ) en el numerador y el denominador : .( 1 + cos x )...........( 1 + cos x ) ..------------------- =....------------------- .. ( sen x )...................sen x ................DEMOSTRACIÓN EJERCICIO c ).- cosx + senx . tanx /senx.secx = csc x ponemos todo en función de seno y coseno .... cos x + sen x ( sen x / cos x) / sen x . ( 1/cos x ) = cos*2 x + sen*2 x --------------------------- .........cosx ---------------------------- = .........senx ........-------- ........cos x Eliminando cos x aariba y abajo : cos*2 x + sen*2 x ---------------------------- = .........senx Pero sabemos que sen*2 x + cos*2 x = 1 ....1 -------- = sen x csc x = csc x ..................DEMOSTRACIÓN EJERCICIO d) .- Sec²x + csc²x = sec² x . csc²x todo en función de seno y coseno : ......1.................1 -----------.. + .. ------------ = cos*2 x.........sen*2 x efectuando : ...sen*2 x + cos*2 x -------------------------------- = ( cos*2 x ) ( sen*2 x ) seguimos : ..............1 -------------------------------- = ( cos*2 x ) ( sen*2 x ) Este quebrado lo podemos desdoblar así . .......1...................1 ---------------.x ---------------- = ( cos*2 x ).....( sen*2 x ) sec*2 x . csc*2 x = sec*2 x . csc*2 x.........DEMOSTRACIÓN EJERCICIO e) .- 1 /1+tan²x = cos²x Sólo debemos saber que ( 1 + tan*2 x ) = sec*2 x Luego : ..........1 ..------------- = ....sec*2 x .....cos*2 x = cos*2 x................DEMOSTRACIÓN EJERCICIO f) .- (tanx + cotx )² = sec²x + csc²x Elevamos al cuadrado el primer miembro : tan*2 x + 2 tan x . cot x + cot*2 x = Recuerda 3 cosas : tan*2 x + 1 = sec*2 x cot*2 x + 1 = csc*2 x tan x . cot x = 1.... Vamos a reemplazar en lo anterior : sec*2 x -- 1 + 2 ( 1 ) + csc*2 x -- 1 = efectuando : sec*2 x -- 1 + 2 + csc*2 x -- 1 = nos queda : sec*2 x + csc*2 x = sec*2 x + csc*2 x.......DEMOSTRACIÓN EJERCICIO g).- 1-sen²x/ cot²x = 1-cos²x .......cos*2 x ...------------------ = .......cos*2 x .....( ----------- ) .......sen*2 x efectuando nos queda : ... cos*2 x ( sen*2 x ) ..------------------------------ = ..........cos*2 x ...........sen*2 x = .... 1 -- cos*2 x = 1 -- cos*2 x............DEMOSTRACIÓN EJERCICIO h) .- 1/ tanx + cotx = senx.cosx Resolviendo : ..............1 .--------------------------- = .. sen x.......cos x ..--------- + --------- ...cosx........sen x resolviendo el denominador : ..............1 .--------------------------- = .. sen*2 x + cos*2 x ..--------------------------- ...( cosx ) ( sen x ) esto queda Así : ...( cosx ) ( sen x ) ..----------------------------- = ............1 ordenando : sen x. cos x = senx . cos x ...............DEMOSTRACIÓN EJERCICIO i).- tanx . senx + cosx = sec x sen x -------- . sen x + cos x = cos x sen*2 x ----------- + cos x = cos x sen*2x + cos*2 x --------------------------- = ..........cos x .....1 ..------- = cos x sec x = sec x