Question

(senx-cosx)×(1/secx ×1/cosx)=2sen²x - 1

Answer 1

(sen³x + cos³x) /(2sen²x - 1) = (secx - senx) /(tanx - 1) 

reescribamos secx como 1 /cosx y tanx como senx /cosx: 

(sen³x + cos³x) /(2sen²x - 1) = [(1 /cosx) - senx] /[(senx /cosx) - 1] 

(poniendo cosx como denominador común en el segundo miembro) 

(sen³x + cos³x) /(2sen²x - 1) = [(1 - senx cosx) /cosx] /[(senx - cosx) /cosx] 

(sen³x + cos³x) /(2sen²x - 1) = [(1 - senx cosx) /cosx] [cosx /(senx - cosx)] 

(simplificando) 

(sen³x + cos³x) /(2sen²x - 1) = (1 - senx cosx) /(senx - cosx) 

factoricemos la suma de cubos en el numerador en el primer miembro (aplicando la regla a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) ): 

[(senx + cosx)(sen²x - senx cosx + cos²x)] /(2sen²x - 1) = (1 - 
senx cosx) /(senx - cosx) 

apliquemos, en el denominador en el primer miembro, la identidad fundamental sen²x + cos²x = 1: 

{(senx + cosx)[(sen²x + cos²x) - senx cosx] /(2sen²x - 1) = (1 - 
senx cosx) /(senx - cosx) 

[(senx + cosx)(1 - senx cosx)] /(2sen²x - 1) = (1 - senx cosx) /(senx - cosx) 

apliquemos otra vez, en el denominador en el primer miembro, la identidad fundamental 1 = sen²x + cos²x: 

[(senx + cosx)(1 - senx cosx)] /[2sen²x - (sen²x + cos²x)] = (1 - 
senx cosx) /(senx - cosx) 

[(senx + cosx)(1 - senx cosx)] /(2sen²x - sen²x - cos²x) = (1 - 
senx cosx) /(senx - cosx) 

[(senx + cosx)(1 - senx cosx)] /(sen²x - cos²x) = (1 - senx cosx) /(senx - cosx) 

factoricemos el denominador en el primer miembro como diferencia de cuadrados (según la regla a² - b² = (a + b)(a - b) ): 

[(senx + cosx)(1 - senx cosx)] /[(senx + cosx)(senx - cosx)] = (1 - 
senx cosx) /(senx - cosx) 

simplificando, concluimos con: 


(1 - senx cosx) /(senx - cosx) = (1 - senx cosx) /(senx - cosx)