Question

Witam,

W piątek przepisali mi kilkanaście zadań z jakiś wektorów. Siedziałem całą noc i zrobiłam większość ale z dwoma szczególnie mam problem... Prosze więc o pomoc/wskazówki/cokolwiek.

1. Oblicz iloczyn skalarny wektorów a i b, jeżeli a = 3p-2q, b = p - 5q, przy czym wektory p i q są wektorami jednostkowymi, wzajemnie prostopadłymi.

2. Dane są trzy wektory a= [1,2,-2], b=[-1,2,2] i c=[2,-2,1]. Znaleźć:
a) kąty między tymi wektorami a osiami układu,
b) kąty mięzy każdą parą tych wektorów.

Answer 1

Wiesz co to rozwiązanie jest strasznie długie, ale co mi tam :)
Rozw.1.
Skoro wektory p i g są do siebie prostopadłe to oznacza że każdy p◦q = q◦p = 0. Liczymy iloczyn skalarny a◦b=(3p-2q)◦(p-5q)= 3p◦p-15p◦q-2q◦p+10q◦q=3p◦p+10q◦q. Z definicji długości wektora mamy, że p◦p=|p|², czyli jeśli p i q są wektorami jednostkowymi to |p|=1 i |q|=1. I mamy, że a◦b=3|p|²+10|q|²=3x1+10x1=13
Rozw.2.
a) wektor a
Np. z osią x: Liczymy najpierw iloczyn skalarny po współrzędnych (wersor e1 osi x ma współrzędne [1,0,0]) czyli [1,2,-2]◦[1,0,0]=1x1+2x0-2x0=1, dodatkowo znamy inny wzór na iloczyn skalarny a mianowicie k◦l=|k|x|l|xcos∢(k,l). Liczymy |a|=√(1²+2²+(-2)²)=√9=3, |e1|=√1=1, czyli z jednej strony a◦e1=1 a z drugiej a◦e1=3cos∢(a,e1). Zatem 3cos∢(a,e1)=1, czyli cos∢(a,e1)=1/3, czyli cos∢(a,e1)=1/3≈0,3333, i z tablic odczytujemy, że ∢=70°30'.
Podobnie przeliczamy z osią y (wersor [0,1,0]) i osią z (wersor [0,0,1]).
wektor b
Np. z osią y: Liczymy najpierw iloczyn skalarny po współrzędnych (wersor e2 osi y ma współrzędne [0,1,0]) czyli [-1,2,2]◦[0,1,0]=-1x0+2x1+2x0=2, dodatkowo znamy inny wzór na iloczyn skalarny a mianowicie k◦l=|k|x|l|xcos∢(k,l). Liczymy |b|=√((-1)²+2²+2²)=√9=3, |e2|=√1=1, czyli z jednej strony b◦e2=2 a z drugiej b◦e2=3cos∢(b,e2). Zatem 3cos∢(b,e2)=2, czyli cos∢(b,e2)=2/3, czyli cos∢(b,e2)=2/3≈0,6667, i z tablic odczytujemy, że ∢=48°12'.
Podobnie przeliczamy z osią x (wersor [1,0,0]) i osią z (wersor [0,0,1]).
wektor c
Np. z osią z: Liczymy najpierw iloczyn skalarny po współrzędnych (wersor e3 osi z ma współrzędne [0,0,1]) czyli [2,-2,1]◦[0,0,1]=2x0-2x0+1x1=1, dodatkowo znamy inny wzór na iloczyn skalarny a mianowicie k◦l=|k|x|l|xcos∢(k,l). Liczymy |c|=√(2²+(-2)²+1²)=√9=3, |e3|=√1=1, czyli z jednej strony c◦e3=1 a z drugiej c◦e3=3cos∢(c,e3). Zatem 3cos∢(c,e3)=1, czyli cos∢(c,e3)=1/3, czyli cos∢(c,e3)=1/3≈0,3333, i z tablic odczytujemy, że ∢=70°30'.
Podobnie przeliczamy z osią x (wersor [1,0,0]) i osią z (wersor [0,0,1]).
b) Liczymy tak samo jak wcześniej - rozważę dwa przypadki - ostatni robi się analogicznie. Iloczyn skalarny jest przemienny a więc para a◦b to to samo co przypadek b◦a, zatem rozpatrujemy tylko 3 przypadki.
Para a i b:
Liczymy a◦b=[1,2,-2]◦[-1,2,2]=1x(-1)+2x2+(-2)x2=-1+4-4=-1, teraz |a|=3 (liczone było wyżej) oraz |b|=3, zatem z drugiej strony a◦b=3x3xcos∢(a,b)=9cos∢(a,b), czyli 9cos∢(a,b)=-1 czyli cos∢(a,b)≈-0,1111, z własności funkcji cosinus i tablic matematycznych dostajemy, że ∢=173°36'.
Para a i c:
Liczymy a◦c=[1,2,-2]◦[2,-2,1]=1x2+2x(-2)+(-2)x1=2-4-2=-4, teraz |a|=3 (liczone było wyżej) oraz |c|=3, zatem z drugiej strony a◦c=3x3xcos∢(a,c)=9cos∢(a,c), czyli 9cos∢(a,c)=-4 czyli cos∢(a,c)≈-0,4444, z własności funkcji cosinus i tablic matematycznych dostajemy, że ∢=153°36'.
Z resztą myślę że już dasz radę :)