Question

Co to jest Okrąg , koło , łuk , pierścień kołowy , wycinek koła i kąt środkowy ? Ps. Chodzi o matematyczny tok myslenia ;)

Answer 1

Można powiedzieć, że kąt środkowy wyodrębnia nam dwa wycinki kołowe:



Oczywiście  i kąty te są kątami dopełniającymi się.


Jak obliczyć pole powierzchni wycinka kołowego?

Wiemy, że pole koła   gdzie  jest promieniem tworzącym tego koła.
Zauważmy, że w kole promień musi dokonać pełnego obrotu,


tzn. o 

Natomiast w wycinku promień obraca się o kąt 





Rozważmy kilka przypadków:

Gdyby kąt  był równy      

to od razu moglibyśmy powiedzieć, że pole tego wycinka jest  pola całego koła.

Potwierdza to fakt, że 

Jeśli   to  
 

Gdyby kąt  był równy     

to od razu moglibyśmy powiedzieć, że pole tego wycinka jest  pola całego koła.

Potwierdza to fakt, że 

Jeśli  to  
 

Gdyby kąt  był równy     

to już nie jest takie oczywiste, że pole tego wycinka jest  pola całego koła. Jednak gdy spojrzymy na koło podzielone w taki sposób (rysunek poniżej), to utwierdzamy się w tym, że tak jest.


 

 

 

 

Potwierdza to fakt, że 

Jeśli  to  

 

 

 

 

Zauważmy pewne prawidłowości:
 

                   

Co w przypadku, gdy kąt   będzie dowolnym kątem?

Wówczas powinniśmy obliczyć, jaką częścią koła jest wycinek wyznaczony przez kąt  

 

Obliczamy to w sposób:   Liczba ta wyznacza nam część powierzchni całego koła, zatem



Odp. 

Faktycznie pole wycinka kołowego obliczamy, korzystając ze wzoru:

 

Pole wycinka kołowego o promieniu