Ciągi - ćwiczenia.Proszę o rozwiązanie zadań z załącznika. Rozwiązania w których znajduje się mniej .... Question from @vegixa

September 2018 1 44 Report

Ciągi - ćwiczenia.
Proszę o rozwiązanie zadań z załącznika. Rozwiązania w których znajduje się mniej niż 6 w pełni rozwiązanych zadań nie będą akceptowane. Proszę o pełne obliczenia.

Pegas80

$\\ a_n=\frac{2n-5}{4}\\ a_{10}=\frac{2*10-5}{4}=\frac{20-5}{4}=\frac{15}{4}=3\frac{3}{4}\\ a_{n-3}=\frac{2(n-3)-5}{4}=\frac{2n-6-5}{4}=\frac{2n-11}{4}\\$

$>b)<img src=$

Odp : Żaden, ponieważ podana wartość jest większa od a14, a mniejsza od a15

$\\ a_n=(-1)^{n+1}*n^2\\ a_1=(-1)^2*1^2=1*1=1\\ a_2=(-1)^3*2^2=(-1)*4=-4\\ a_7=(-1)^8*7^2=1*49=49\\ a_{30}=(-1)^{31}*30^2=(-1)*900=-900\\$

$> Aby zbadać monotoniczność ciągu należy od następnego wyrazu odjąć poprzedni więc mamy: <img src=$

Licznik i mianownik jest dodatni dla każdej liczby n należącej do zbioru liczb naturalnych, przed ułamkiem mamy minus, więc róznica dwóch kolejnych wyrazów zawsze będzie ujemna.

Odp : Ciąg jest malejący.

$\\ \frac{2-4n}{3+n}=-2\frac{5}{6}\\ \frac{2-4n}{3+n}=-\frac{17}{6}\\ 6(2-4n)=-17(3+n)\\ 12-24n=-51-17n\\ -7n=-56\\ n=8$

Odp : Podaną wartość przyjmuje 8 wyraz ciągu.

$\\ a_n=-2n^2+8n+10\geq 0\\ -2(n^2-4n-5)\geq 0\\ \Delta=16+20=36\\ \sqrt{\Delta}=6\\ n_1=\frac{4-6}{2}=-1\\ n_2=\frac{4+6}{2}=5\\$

Ramiona paraboli są skierowane w dół więc :

$>Musimy również pamietać, że n należy do zbioru liczb naturalnych, ostatecznie mamy :<img src=$

Ramiona paraboli są skierowane w gorę więc :

$>Musimy również pamietać, że n należy do zbioru liczb naturalnych, ostatecznie mamy :<img src=$

$\\ a_{10}=a_1+9r=\frac{1}{2}+9*\frac{1}{4}=\frac{2}{4}+\frac{9}{4}=\frac{11}{4}=2\frac{3}{4}\\ S_{10}=\frac{a_1+a_{10}}{2}*10=\frac{\frac{1}{2}+\frac{11}{4}}{2}*10=(\frac{2}{4}+\frac{11}{4})*5=\\$

$\\ =\frac{13}{4}*5=\frac{65}{4}=16\frac{1}{4}\\$

$\\ a_n=5-\frac{n-2}{3}\\ a_1=5-\frac{1-2}{3}=5+\frac{1}{3}=5\frac{1}{3}\\ a_{14}=5-\frac{14-2}{3}=5-\frac{12}{3}=5-4=1\\ S_{14}=\frac{a_1+a_{14}}{2}*14=\frac{\frac{16}{3}+\frac{3}{3}}{2}*14=\\$

$\\ =\frac{19}{3}*7=\frac{133}{3}=44\frac{1}{3}$

$\\ a_3=-3\\ a_7=3\\ 4r=a_7-a_3=3-(-3)=6\\ r=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\\ a_1=a_3-2r=-3-2*\frac{3}{2}=-6\\ a_n=a_1+r(n-1)\\ a_n=a_1+rn-r=-6+\frac{3}{2}n-\frac{3}{2}\\ a_n=-7\frac{1}{2}+\frac{3}{2}n$

$\\ a_7-a_2=20\\ a_4=17\\ a_1+6r-a_1-r=20\\ 5r=20\\ r=4\\ a_1=a_4-4r=17-12=5\\ S_n=\frac{(a_1+a_n)}{2}*n=\frac{a_1+a_1+(n-1)r}{2}*n=\frac{2a_1+nr-r}{2}*n=\\ =\frac{10+4n-4}{2}*n=860\\$

$>Odp : 20 początkowych wyrazów daje w sumie 860. 10)Ciąg arytmetyczny jest rosnący, gdy r>0<img src=$

Parabola ma ramiona skierowane w górę, więc:

$\\ m\in (-\infty;-2)\cup (2;\infty)$

11)

$\\ a_1=3x+2\\ a_2=7\\ a_3=-2\\ q=\frac{a_2}{a_1}=-\frac{2}{7}\\ q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{7}{3x+2}=-\frac{2}{7}\\ -2(3x+2)=49\\ -6x-4=49\\ -6x=53\\ x=-\frac{53}{6}=-8\frac{5}{6}$

12)

$\\ a_5=48\\ a_8=-384\\ q^3=\frac{a_8}{a_5}=\frac{-384}{48}=-8\\ q=-2\\ a_1=\frac{a_5}{q^4}=\frac{48}{16}=3\\ S_7=\frac{a_1(1-q^7)}{1-q}=\frac{3(1-(-2)^7)}{1+2}=\frac{3(1+128)}{3}=129\\$

13)

$\\ a_n=(-1)^{n-2}*5\\ a_1=(-1)^{-1}*5=-1*5=-5\\ a_2=(-1)^2*5=1*5=5\\ q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{5}{-5}=-1\\ S_n=\frac{a_1(1-g^n)}{1-q}\\ S_{100}={\frac{-5*(1-(-1)^{100})}{1+1}=\frac{-5(1-1)}{2}=0\\$