Ciągi - dwa zadania do rozwiązania w załączniku ;).... Question from @Cleveland

January 2019 1 28 Report

Ciągi - dwa zadania do rozwiązania w załączniku ;)

Paawełek 17. Dany jest w zadaniu ciąg $(a_1,a_2,a_3,a_4,...,a_{10})$ Gdzie:
$\begin{cases} a_1 \cdot a_{10}=7 \\ a_5+a_6=8 \end{cases} \\ \\ \hbox{Uzalezniam wszystko od a1 i r:} \\ \\ a_{10}=a_1+9r \\ a_5=a_1+4r \\ a_6=a_1+5r \\ \\ \hbox{I podstawiam do ukl. rownan:}$

$\begin{cases} a_1(a_1+9r)=7 \\ a_1+4r+a_1+5r=8 \end{cases} \\ \\ \begin{cases}a_1^2 + 9r \cdot a_1=7 \\ 9r=8-2a_1 \end{cases}$

Dolne równanie podstawiam do górnego:

$a_1^2 + (8-2a_1) \cdot a_1=7 \\ \\ a_1^2+8a_1-2a_1^2=7 \\ \\ -a_1^2+8a_1-7=0 \qquad /\cdot (-1) \\ \\ a_1^2-8a_1+7=0 \\ \\ \Delta=8^2-4 \cdot 7 = 64-28=36 \\ \sqrt{\Delta}=6 \\ \\ a_{1_1}= \dfrac{8+6}{2}=\dfrac{14}{2}=7 \\ \\ a_{1_2}=\dfrac{8-6}{2}=\dfrac{2}{2}=1$

powracając to 9r=8-2a1 :

$9r=8-2a_1 \qquad /:9 \\ \\ r_1=\dfrac{8-2a_{1_1}}{9}= \dfrac{8-2 \cdot 7}{9}=-\dfrac{6}{9}=-\dfrac{2}{3} \\ \\ r_2=\dfrac{8-2a_{1_2}}{9}= \dfrac{8-2 \cdot 1}{9}= \dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$

Czyli albo to jest ciąg gdzie a1 = 7 oraz r = -2/3
albo to jest ciąg gdzie a1 = 1 oraz r=2/3

Zajmuję się pierwszym ciągiem i wyznaczam a10:
$a_{10}=a_1+9r=7 - 9 \cdot \dfrac{2}{3}=1 \\ \\ S_{10}=\dfrac{a_1+a_{10}}{2} \cdot 10= \dfrac{7+1}{2} \cdot 10=4 \cdot 10 = 40$

Zauważ, że w 2. przypadku otrzymasz ten sam ciąg, lecz zapisany w odwrotnej kolejności. Czyli suma będzie ta sama - wynosi ona 40 (odpowiedź)

zad. 18

Dane z zadania:

$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5 = 30 \\ \\ S_5=30 \\ \\ \dfrac{a_1+a_5}{2} \cdot 5=30 \qquad /:5 \\ \\ \dfrac{a_1+a_5}{2}=6 \qquad /\cdot 2 \\ \\\begin{cases} a_1+a_5=12 \\ a_2 \cdot a_4=11\end{cases} \\ \hbox{Rozwiazuje dokladnie tak samo jak poprzednio:} \\ \begin{cases}a_1+a_1+4r=12 \\ (a_1+r)(a_1+3r)=11 \end{cases} \\ \\ \begin{cases}2a_1+4r=12\qquad /:2 \\ a_1^2+3a_1 r+a_1 r+3r^2=11 \end{cases}$

$\begin{cases}a_1+2r=6 \\ a_1^2+4a_1 \cdot r+3r^2=11 \end{cases} \\ \\ \hbox{Podstawiam z gornego rownania} \ \ a_1=6-2r: \\ \\ (6-2r)^2+4(6-2r)r+3r^2=11 \\ \\ 4r^2-24r+36+24r-8r^2+3r^2=11 \\ \\ -r^2+36=11 \\ \\ -r^2=-25 \qquad /\cdot (-1) \ \\ r^2=25 \qquad /\sqrt{} \\ \\ |r|=5 \qquad r>0 \ \ \hbox{bo ciag jest rosnacy}\\ \\ \boxed{r=5}$

Stąd też a1 = 6-2r = 6 - 2 *5 = 6-10 = -4
Wzór na n-tą sumę ciągu wyraża się jako:

$S_n = \dfrac{a_1+a_n}{2} \cdot n \\ \\ \hbox{Gdzie:} \\ \\ a_n=a_1+(n-1)r=-4+5(n-1)=-4+5n-5=5n-9 \\ \\ \hbox{Zatem:} \\ \\ S_n= \dfrac{-4+5n-9}{2} \cdot n= \dfrac{5n^2-13n}{2} \\ \\ \hbox{Wyznaczyc trzeba najmniejsze rozwiazanie nierownosci:}$

$S_n>100 \\ \\ \dfrac{5n^2-13n}{2}>100 \qquad /\cdot 2 \\ \\ 5n^2-13n>200 \\ \\ 5n^2-13n-200>0 \\ \\ \Delta=13^2 +5 \cdot 200 \cdot 4=169+4000=4169 \\ \\ n_1=\dfrac{13+\sqrt{4169}}{10} \approx 7,76 \\ \\ n_2=\dfrac{13-\sqrt{4169}}{10} \approx -5,16 \\ \\ n\in (-\infty; -5,16) \cup (7,76; +\infty)$

Najmniejszą liczbą naturalną należącą do tego rozwiązania jest 8, więc należy dodać co najmniej 8 wyrazów tego ciągu.

1 votes Thanks 1