Question

CIĄG ARTMETYCZNY
1. Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych które,
a) są trzycyfrowe i przy dzieleniu przez 8 dają reszte 1
b) są dwucyfrowe i przy dzieleniu przez 4 dają reszte 2
c) są mniejsze niż 158 i przy dzieleniu przez 3 dają reszte 1

Answer 1

1. Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych, które
a) są trzycyfrowe i przy dzieleniu przez 8 dają resztę 1

Wypiszemy liczby, które trzeba dodać:
105 = 8 × 13 + 1, 113 = 8 × 14 + 1, .... 993 = 8 × 124 + 1
Widać, że liczby te tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 8.
Jest ich natomiast tyle, ile liczb od 13 do 124, czyli
124 − 12 = 112
Korzystamy teraz ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.
S₁₁₂ = [105 + 993 / 2 ] × 112 = 1098 × 56 = 61488

Odp. Suma wszystkich liczb naturalnych, które są trzycyfrowe i przy dzieleniu przez 8 dają resztę 1 wynosi 61488.

b) są dwucyfrowe i przy dzieleniu przez 4 dają resztę 2

Wypiszemy liczby, które trzeba dodać:
10 = 4 × 2 + 2, 14 = 4 × 3 + 2, .... 98 = 4 × 24 + 2
Widać, że liczby te tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 4.
Jest ich natomiast tyle, ile liczb od 2 do 24, czyli
24 − 1 = 23
Korzystamy teraz ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.
S₂₃ = [10 + 98 / 2 ] × 23 = [108 / 2] × 23 = 54 × 23 = 1242

Odp. Suma wszystkich liczb naturalnych, które są dwucyfrowe i przy dzieleniu przez 4 dają resztę 2 wynosi 1242.

c) są mniejsze niż 158 i przy dzieleniu przez 3 dają resztę 1

Wypiszemy liczby, które trzeba dodać:
4 = 3 × 1 + 1, 7 = 3 × 2 + 1, .... 157 = 3 × 52 + 1
Widać, że liczby te tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 3.
Jest ich natomiast tyle, ile liczb od 1 do 52, czyli
52 − 0 = 52
Korzystamy teraz ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.
S₅₂ = [4 + 157 / 2 ] × 52 = 161 × 26 = 4186

Odp. Suma wszystkich liczb naturalnych, które są mniejsze niż 158 i przy dzieleniu przez 3 dają resztę 1 wynosi 4186.