calcula la altura de un arbol, si el angulo de elevacion de su extremo superior aumenta desde 30 hasta 60 cuando el observador avanza 80m hacia el arbol
A)40m
•(B) 40√3m
•(C) 80m
• (D) 80√3m
A)40m
•(B) 40√3m
•(C) 80m
• (D) 80√3m
La altura h del árbol es de 40√3 metros
Siendo correcta la opción B
Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.
Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.
Donde el triángulo 30-60 es lo que se denomina un triángulo notable
Representamos la situación del problema en dos triángulos rectángulos:
El ABC: el cual está conformado por el lado AC que equivale a la altura del árbol, el lado BC que representa la distancia sobre la línea del suelo desde el observador hasta el pie del árbol -donde no conocemos la totalidad de esa distancia sino sólo una porción- : la del segmento DB: donde el observador avanzó hacia el árbol 80 metros hasta otro punto del suelo o de observación, y no sabemos la longitud del segmento DC - a la cual llamaremos distancia "x" - y el lado AB es la línea visual hasta la parte superior del árbol visto con un ángulo de elevación de 30°
El ACD: el cual está configurado por el lado AC que equivale a la altura del árbol, el lado DC que es la distancia sobre el plano del suelo desde el observador -ubicado en el segundo punto de avistamiento- hasta el pie del árbol luego de haber avanzado en línea recta hacia allí 80 metros. Esta distancia es de valor desconocido y es a la que llamamos distancia "x". Y por último tenemos el lado AD que equivale a la línea visual hasta la cima del árbol visto con un ángulo de elevación de 60°
Donde se pide hallar:
La altura h del árbol
Para resolver este ejercicio vamos a plantear un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, a las que llamaremos variable x y variable h
Donde "x" será la distancia a hallar sobre la línea del suelo hasta el pie del árbol luego de haber avanzado desde el primer punto de observación 80 metros, alcanzando el segundo punto de avistamiento
Y donde la incógnita "h" será la altura del árbol
Dado que la tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:
Siendo la altura "h" del árbol el cateto opuesto a los ángulos dados y en donde las diferentes distancias hasta el árbol son los catetos adyacentes de los respectivos ángulos de elevación
En donde la altura "h" del árbol es un valor que no cambiará para ninguna de las distancias de donde el observador se encuentre
Y como conocemos de manera parcial la medida del cateto adyacente, los dos ángulos de elevación según se sitúe la persona en un punto del plano del suelo, y nos piden hallar la altura del árbol emplearemos la razón trigonométrica tangente para determinar la incógnita
Hallamos la distancia x
Planteamos un sistema de ecuaciones
[tex]\boxed {\bold {tan (60^o) = \frac{h}{x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to h = x \ . \ tan(60^o ) } }[/tex]
[tex]\boxed {\bold {tan (30^o) = \frac{h}{x +80} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to h = (x + 80) \ . \ tan (30^o) } }[/tex]
Igualamos las dos expresiones para hallar el valor de x
[tex]\boxed { \bold {x \ . \ tan(60^o)= (x + 80) \ . \ tan(30^o) }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {x \ . \ tan(60^o) = x \ . \ tan(30^o) +80 \ . \ tan(30^o) }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {x \ . \ tan(60^o) - x \ . \ tan(30^o) =80 \ . \ tan(30^o) }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {x \ . \ (tan(60^o) - \ tan(30^o) )=80\ . \ tan(30^o) }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {x = \frac{ 80 \ . \ tan(30^o) }{ tan(60^o) - \ tan(30^o) } }}[/tex]
[tex]\large \textsf{El valor exacto de tan de 30 grados es de }\bold{ \frac{\sqrt{3} }{3} }[/tex]
[tex]\large \textsf{El valor exacto de tan de 60 grados es de }\bold{ \sqrt{3} }[/tex]
[tex]\boxed { \bold {x = \frac{ 80 \ . \ \frac{\sqrt{3} }{3} }{ \sqrt{3} \ - \ \frac{\sqrt{3} }{3} } \ m }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {x = \frac{ 80 \ . \ \frac{\sqrt{3} }{3} }{ \sqrt{3} \ .\ \frac{3}{3} \ . \ - \ \frac{\sqrt{3} }{3} } \ m }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {x = \frac{ 80 \ . \ \frac{\sqrt{3} }{3} }{ \frac{3\sqrt{3} }{3} \ - \ \frac{\sqrt{3} }{3} } \ m }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {x = \frac{ 80 \ . \ \frac{\sqrt{3} }{3} }{ \frac{2\sqrt{3} }{3} } \ m }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {x = 80 \ . \ \frac{\sqrt{3} }{3} \ . \ \frac{3}{2\sqrt{3} } \ m }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {x = 80 \ . \ \frac{\not \sqrt{3} }{\not3} \ . \ \frac{\not3}{2\not \sqrt{3} } \ m }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold {x = \frac{80}{2} \ m }}[/tex]
[tex]\large\boxed { \bold {x = 40 \ metros }}[/tex]
La distancia x es de 40 metros
Hallamos la altura h del árbol
Hallamos el valor de h, reemplazando el valor hallado de x en cualquiera de las ecuaciones planteadas en el inciso anterior
Si
[tex]\large\boxed {\bold {h = x \ . \ tan(60^o)}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {h = 40 \ m \ . \ \sqrt{3} }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {h = 40 \sqrt{3} \ metros }}[/tex]
La altura h del árbol es de 40√3 metros
Se adjunta gráfico a escala que representa la situación