Question

Buktikan dengan prinsip induksi matematika bahwa:
a) untuk semua n € Z+ (n anggota bil. bulat positif), n>3 berlaku 2^n < n!
Mohon bantuan penyelesaiannya...

Answer 1

Pernyataan yang akan dibuktikan adalah sbb :
P(n) = 2^n < n! untuk n > 3
Langkah 1 :
P(4) adalah benar sebab 2^4 < 4! ⇔ 16 < 24, selanjutnya kita asumsikan bahwa P(k) benar.
Langkah 2 :
Dengan asumsi di atas kita akan menyelidiki kebenaran pernyataan P(n + 1)
P(n + 1) adalah benar sebab 2^(n+1) < (n+1)! untuk n > 3
P(4 + 1) ⇔ 2^5 < 5! ⇔ 32 < 120
Karena 2^5 < 5! benar, maka dari kebenaran terakhir kita asumsikan bahwa untuk
2^5 < 5! benar.dengan kata lain, penyataan untuk P(n+1) benar. Dengan demikian
2^n < n! untuk n > 3 dapat dibuktikan kebenarannya.

Answer 2

Basis induksi:
adb benar utk n > 3
ambil n = 4
2⁴ < 4!
16 < 24 (benar)

langkah induksi:
adb benar utk k = n + 1
adb 2^(n + 1) < (n + 1)!
2^(n + 1) < (n + 1)!
2.2^n < (n + 1)(n - 1)n! < n!
2.2^n < n!
2^(n + 1) < n! (benar)

dari pengaitan tersebut maka 2^n < n! benar berlaku untuk n > 3 dan n € Z+