Berdasarkan hasil penelitian 15 orang yang tidak merokok terkena TBC dan dari setiap 100 perokok terdapat 5 orang diantaranya terkena TBC. Jika diambil sampel masing masing 100 orang dari kedua kelompok, berapakah probabilitas bahwa selisih populasi perokok dan populasi bukan perokok yang terkena TBC lebih besar dari 5 %.
Jawaban:Jadi, probabilitas bahwa selisih populasi perokok dan bukan perokok yang terkena TBC lebih besar dari 5% adalah sekitar 59,34%.
Penjelasan:
Kita dapat menyelesaikan masalah ini dengan menggunakan distribusi binomial.
Misalkan p1 adalah proporsi populasi orang yang terkena TBC di antara mereka yang tidak merokok, dan p2 adalah proporsi populasi orang yang terkena TBC di antara mereka yang merokok. Untuk populasi yang tidak merokok, diketahui dari hasil penelitian bahwa p1 = 15/100 = 0,15. Sedangkan untuk populasi yang merokok, diketahui bahwa p2 = 5/100 = 0,05.
Untuk menentukan probabilitas selisih populasi perokok dan bukan perokok yang terkena TBC lebih besar dari 5%, kita perlu menghitung selisih antara proporsi populasi orang yang terkena TBC di antara perokok dan yang tidak merokok, lalu mengecek apakah selisih ini lebih besar dari 0,05 atau tidak.
Kita dapat menggunakan rumus berikut untuk menghitung deviasi standar dari selisih dua proporsi populasi:
σd = sqrt[(p1 * (1-p1) / n1) + (p2 * (1-p2) / n2)]
di mana n1 dan n2 masing-masing merupakan ukuran sampel orang yang tidak merokok dan merokok.
Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumus di atas, maka kita dapat menghitung deviasi standar σd:
σd = sqrt[(0,15 * 0,85 / 100) + (0,05 * 0,95 / 100)]
= sqrt[0,001275 + 0,000475]
= sqrt[0,00175]
= 0,0418
Kemudian, kita dapat menghitung z-score dari selisih proporsi yang ingin dicari (yaitu 0,05) menggunakan rumus berikut:
z = (p1 - p2 - d) / σd
di mana d adalah selisih proporsi yang ingin dicari, yaitu 0,05, dan σd adalah deviasi standar dari selisih proporsi yang sudah dihitung sebelumnya.
Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumus di atas, maka kita dapat menghitung z-score:
z = (0,15 - 0,05 - 0,05) / 0,0418
= -0,239
Selanjutnya, kita dapat mencari probabilitas menggunakan tabel distribusi normal standar. Berdasarkan tabel, probabilitas bahwa z-score kurang dari -0,239 adalah sekitar 0,4066. Oleh karena itu, probabilitas bahwa selisih populasi perokok dan bukan perokok yang terkena TBC lebih besar dari 5% adalah sekitar 1 - 0,4066 = 0,5934 atau sekitar 59,34%.