bantu kak soal ksn mtk smp 2021.... Question from @adrielwigunaa

adrielwigunaa @adrielwigunaa

August 2022 1 5 Report

bantu kak soal ksn mtk smp 2021

henriyulianto

2 atau lebih bus tiba di X secara bersamaan sebanyak 19 kali.
 

Pembahasan

Perjalanan Bus A

P-X-S-X-P ditempuh dalam 12 menit.
Terdapat 2×2 = 4 ruas jalan.
P-X adalah ruas pertama, S-X adalah ruas ketiga.
Bus A tiba di X pada menit ke-3 dan ke-9 pada sekali tempuh P-X-S-X-P.

Perjalanan Bus B

Q-X-T-X-Q ditempuh dalam 20 menit.
Terdapat 2×2 = 4 ruas jalan.
Q-X adalah ruas pertama, T-X adalah ruas ketiga.
Bus B tiba di X pada menit ke-5 dan ke-15 pada sekali tempuh Q-X-T-X-Q.

Perjalanan Bus C

R-X-U-X-R ditempuh dalam 28 menit.
Terdapat 2×2 = 4 ruas jalan.
R-X adalah ruas pertama, U-X adalah ruas ketiga.
Bus C tiba di X pada menit ke-7 dan ke-21 pada sekali tempuh R-X-U-X-R.

Evaluasi Selang Waktu

Pukul 17.00 adalah 4 jam setelah pukul 13.00.
Batas bawah = menit ke-240.
Pukul 22.00 adalah 9 jam setelah pukul 13.00.
Batas atas = menit ke-540.
Selang waktu tibanya bus A di X: 9 – 3 = 6 menit.
Selang waktu tibanya bus B di X: 15 – 5 = 10 menit.
Selang waktu tibanya bus C di X: 21 – 7 = 14 menit.

___________________

Pertemuan Bus A dan B di X

Dari selang waktu tibanya kedua bus di X, KPK dari 6 dan 10 adalah 30. Oleh karena itu, bus A dan bus B akan bertemu di X setiap 30 menit sekali. setelah pertemuan pertama.

Pertemuan pertama antara bus A dan bus B di X adalah pada menit ke-15, karena KPK dari 3 dan 5 adalah 15.

Misalkan $n$ menyatakan kali ke-sekian bus A dan B bertemu di X. Maka:

$\begin{aligned}t^{(AB)}_n&=15+30(n-1)\\\Rightarrow t^{(AB)}_n&=30n-15\end{aligned}$

Sehingga, pada rentang waktu 17.00 s.d. 22.00,

$\begin{array}{ccccccc}&240& \le &30n-15& \le &540\\\\\Rightarrow&255& \le &30n& \le &555\\\\\Rightarrow&\!\!\!\left\lceil8\,\dfrac{15}{30}\right\rceil\!\!\!& \le &n& \le &\!\!\left\lfloor18\,\dfrac{15}{30}\right\rfloor\!\!\\\\\Rightarrow&9& \le &n& \le &18\end{array}$

Nilai n yang memenuhi adalah n ∈ {9, 10, 11, ..., 18}.

Sehingga, $T_{AB}=\{255,285,315,345,375,405,435,465,495,525\}.$

___________________

Pertemuan Bus B dan C di X

Dari selang waktu tibanya kedua bus di X, KPK dari 10 dan 14 adalah 70. Oleh karena itu, bus B dan bus C akan bertemu di X setiap 70 menit sekali, setelah pertemuan pertama.

Pertemuan pertama antara bus B dan bus C di X adalah pada menit ke-35, karena KPK dari 5 dan 7 adalah 35.

$\begin{aligned}t^{(BC)}_n&=35+70(n-1)\\\Rightarrow t^{(BC)}_n&=70n-35\end{aligned}$

Sehingga, pada rentang waktu 17.00 s.d. 22.00,

$\begin{array}{ccccccc}&240& \le &70n-35& \le &540\\\\\Rightarrow&275& \le &70n& \le &575\\\\\Rightarrow&\!\!\!\left\lceil3\,\dfrac{65}{70}\right\rceil\!\!\!& \le &n& \le &\!\!\left\lfloor8\,\dfrac{15}{70}\right\rfloor\!\!\\\\\Rightarrow&4& \le &n& \le &8\end{array}$

Nilai n yang memenuhi adalah n ∈ {4, 5, 6, 7, 8}.

Sehingga, $T_{BC}=\{245,315,385,455,525\}$ .

___________________

Pertemuan Bus A dan C di X

Dari selang waktu tibanya kedua bus di X, KPK dari 6 dan 14 adalah 42. Oleh karena itu, bus A dan bus C akan bertemu di X setiap 42 menit sekali, setelah pertemuan pertama.

Pertemuan pertama antara bus A dan bus C di X adalah pada menit ke-21, karena KPK dari 3 dan 7 adalah 21.

$\begin{aligned}t^{(AC)}_n&=21+42(n-1)\\\Rightarrow t^{(AC)}_n&=42n-21\end{aligned}$

Sehingga, pada rentang waktu 17.00 s.d. 22.00,

$\begin{array}{ccccccc}&240& \le &42n-21& \le &540\\\\\Rightarrow&261& \le &42n& \le &561\\\\\Rightarrow&\!\!\!\left\lceil6\,\dfrac{9}{42}\right\rceil\!\!\!& \le &n& \le &\!\!\left\lfloor13\,\dfrac{15}{42}\right\rfloor\!\!\\\\\Rightarrow&7& \le &n& \le &13\end{array}$

Nilai n yang memenuhi adalah n ∈ {7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}.

Sehingga, $T_{AC}=\{273,315,357,399,441,483,525\}$ .

___________________

Pertemuan ketiga bus di X

Dari selang waktu tibanya ketiga bus di X, KPK dari 6, 10, dan 14 adalah 210. Jadi, ketiga bus akan bertemu di X setiap 210 menit sekali, setelah pertemuan ketiganya di X.

Pertemuan pertama ketiga bus di X adalah pada menit ke-105, karena KPK dari 3, 5, dan 7 adalah 105.

Pada rentang waktu 17.00 s.d. 22.00, atau menit ke 240 s.d. 540, ketiga bus bertemu di X sebanyak 2 kali, yaitu pada menit ke-(105+210) atau menit ke-305, dan menit ke-(305+210) atau menit ke-525.

Sehingga, $T_{ABC}=\{305,525\}$ .

___________________

Himpunan yang beranggotakan menit-menit di mana 2 atau lebih bus bertemu di X dinyatakan oleh:

$\begin{aligned}\bf T&=T_{AB}\ \cup\ T_{BC}\ \cup\ T_{AC}\ \cup\ T_{ABC}\\&=\left\{\begin{array}{c}255,285,315,345,375,\\405,435,465,495,525\end{array}\right\}\\&\qquad{}\cup\ \{245,315,385,455,525\}\\&\qquad{}\cup\ \{273,315,357,399,441,483,525\}\\&\qquad{}\cup\ \{305,525\}\\\therefore\ \bf T&=\left\{\begin{array}{c}245,255,273,285,305,\\315,345,357,375,385,\\399,405,435,441,455,\\465,483,495,525\end{array}\right\}\end{aligned}$
Kardinalitas T adalah 19.
 

KESIMPULAN

∴ 2 atau lebih bus tiba di X secara bersamaan sebanyak 19 kali.
 

5 votes Thanks 5

adrielwigunaa mau tanya kak, itu gimana caranya dapet pertemuan pertamanya ya? yg bus B dan C pertemuan pertamanya kenapa 245? bukannya batas bawah (240)+35?

henriyulianto batas bawah dan atas itu untuk menghitung rentang nilai menit yang berada dalam batas2 tersebut, bukan untuk mengjhitung menitnya.

henriyulianto karena, semua bus tetap berangkat pada pukul 13, bukan 17.

henriyulianto batas bawah 240 itu bisa jadi batas bawah perhitungan hanya untuk bus A dan bus B, karena waktu tempuh sekali rutenya masing2 bus afalah faktor dari 60 menit. maka pada pukul 17, bus A dan B tepat berada di lokasi awal masing2.

adrielwigunaa OHHH IYAAA BARU PAHAM MAKASI BANYAK KAKK

henriyulianto jadi, saya pakai pendekatan yang menurut saya lebih aman. makanya saya daftarkan himpunannya, lalu union-kan.

henriyulianto itu pun mata harus jeli pada saat mendaftarkan unionnya. bisa ada yang terselip tidak terhitung, atau malah dobel :D

henriyulianto ya. terima kasih kembali