Bagian atas dari jantung r=(1−cos⁡ θ) diputar mengelilingi garis θ= π. Carilah luas permukaan yang t.... Question from @irsyadnurrohmapcz6u3

irsyadnurrohmapcz6u3 @irsyadnurrohmapcz6u3

July 2022 1 8 Report

Bagian atas dari jantung r=(1−cos⁡ θ) diputar mengelilingi garis θ= π. Carilah luas permukaan yang terbentuk.

henriyulianto

Luas permukaan benda putar yang terbentuk adalah:

$\bf\dfrac{32\pi}{5}\ satuan\ luas$

Pembahasan

Aplikasi Integral: Luas Permukaan Benda Putar

Diketahui
Kardioda/Jantung $r=1-\cos\theta$ , bagian atasnya diputar mengelilingi garis $\theta=\pi$ .

Ditanyakan
Luas permukaan benda putar yang terbentuk

PENYELESAIAN

Pada sistem koordinat polar, garis $\theta=\pi$ adalah garis mendatar yang berpangkal pada titik pusat ke arah negatif (kiri) dan berlawanan arah dengan garis $\theta=0$ . Kardioda, atau bangun datar yang menyerupai bentuk jantung, yang dalam persoalan ini didefinisikan dengan $r=1-\cos\theta$ , memiliki sumbu simetri mendatar $\theta=\pi$ . Bagian atas jantung $r=1-\cos\theta$ adalah bagian yang terbentuk pada interval $0 \le \theta \le \pi$ .

Kita akan menggunakan persamaan parametrik untuk menentukan luas permukaannya, di mana luas permukaan benda putar yang terbentuk dinyatakan oleh:

$\displaystyle L=2\pi\int_{a}^{b}y\sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2}\,d\theta$
 

Untuk setiap titik $(r, \theta)$ , $x=r\cos\theta$ , dan $y=r\sin\theta$ , sehingga:

$\begin{aligned}{\bullet\ \ }\frac{dx}{d\theta}&=\frac{dr}{d\theta}\cos\theta-r\sin\theta\\{\bullet\ \ }\frac{dy}{d\theta}&=\frac{dr}{d\theta}\sin\theta+r\cos\theta\\{\bullet\ \ }\frac{dr}{d\theta}&=\frac{d}{d\theta}(1-\cos\theta)=\sin\theta\end{aligned}$

Oleh karena itu:

$\begin{aligned}&{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2}\\&{=\ }\left(\frac{dr}{d\theta}\cos\theta-r\sin\theta\right)^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\sin\theta+r\cos\theta\right)^2\\&{=\ }\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2\cos^2\theta+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2\sin^2\theta\\&{\quad}+r^2\sin^2\theta+r^2\cos^2\theta\\&{\quad}\cancel{-\ 2\frac{dr}{d\theta}\cos\theta\cdot r\sin\theta}\cancel{+\ 2\frac{dr}{d\theta}\sin\theta\cdot r\cos\theta}\end{aligned}$
$\begin{aligned}&{=\ }\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2\left(\cos^2\theta+\sin^2\theta\right)\\&{\quad}+r^2\left(\sin^2\theta+\cos^2\theta\right)\\&{=\ }\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2+r^2\\&{=\ }\sin^2\theta+\left(1+\cos^2\theta-2\cos\theta\right)\\&{=\ }\sin^2\theta+\cos^2\theta+1-2\cos\theta\\&{=\ }2-2\cos\theta\\&{=\ }2-2\left(2\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)-1\right)\\&{=\ }2-4\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)+2\\&{=\ }4-4\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)\end{aligned}$
$\begin{aligned}&{=\ }4\left(1-\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)\\&{=\ }4\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)\end{aligned}$

Kita peroleh:

$\begin{aligned}\therefore\ \sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2}=2\left|\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right|\end{aligned}$
 

Maka:

$\begin{aligned}L&=2\pi\int_{0}^{\pi}y\sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2}\,d\theta\\&=2\pi\int_{0}^{\pi}\left((1-\cos\theta)\sin\theta\cdot2\left|\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right|\right)\,d\theta\\&=4\pi\int_{0}^{\pi}\left((1-\cos\theta)\sin\theta\left|\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right|\right)\,d\theta\end{aligned}$
 

$\begin{aligned}&\ \left[\ \begin{aligned}&\textsf{Ambil }u=\frac{\theta}{2}\\&\Rightarrow \theta=2u\\&\Rightarrow d\theta=2du\\&\Rightarrow \textsf{Batas atas $u$}=\frac{\pi}{2} \end{aligned}\right.\\\\L&=4\pi\int_{0}^{\pi/2}\left((1-\cos2u)\sin2u\left|\sin u\right|\right)2du\\&=8\pi\int_{0}^{\pi/2}\left((1-\cos2u)\sin2u\left|\sin u\right|\right)du\\&=8\pi\int_{0}^{\pi/2}\left(2\sin^2u\sin2u\left|\sin u\right|\right)du\end{aligned}$
$\begin{aligned}&=16\pi\int_{0}^{\pi/2}\left(\sin^2u\cdot2\sin u\cos u\left|\sin u\right|\right)du\\&=32\pi\int_{0}^{\pi/2}\sin^4u\cos u\,du\\&\ \left[\ \begin{aligned}&\textsf{Ambil }v=\sin u\\&\Rightarrow dv=\cos u\,du\\&\Rightarrow \textsf{Batas atas $v$}=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\\&\Rightarrow \textsf{Batas bawah $v$}=\sin0=0\\\end{aligned}\right.\\\\L&=32\pi\int_{0}^{1}v^4\,dv\\&=32\pi\left[\frac{v^5}{5}\right]_{0}^{1}\end{aligned}$
$\begin{aligned}&=32\pi\left(\frac{1}{5}-0\right)\\L&=\boxed{\ \frac{32\pi}{5}\ \rm satuan\ luas}\end{aligned}$