Question

Como resolver esto lim θ→0 Sen 2θ/θ

Answer 1

Lím   (Sen (2x))/ x
x-->0

Este limite lo resolveremos de dos maneras:
Por ley de l'hopital y usando identidades trigonométricas además del límite fundamental:


1) Por l'hopital:

Sabiendo que: 
Sen (2(0)) = Sen (0) = 0
Tenemos una indeterminación de tipo 0/0:
Derivando arriba y abajo:
(sen (2x))' = 2 cos (2x)
x' = 1

Lím   (Sen (2x))/ x = Lím   2 cos (2x)
x-->0                        x-->0

Evaluando directamente:
Lím  2 cos (2x) = 2
x-->0

2) Utilizando identidades trigonométricas y usando el limite fundamental:
El límite fundamental nos dice que:

Lím   (Sen x)/ x = 1
x-->0

Sabiendo que:
Sen(2x) = Sen(x+x) = Senx Cos + Senx Cos x = 2 Senx Cosx

Lím   (Sen (2x))/ x = Lím   2 Senx Cosx/x
x-->0                        x-->0

Notamos que aparece el límite fundamental, y que por propiedades de los límites:

Lím   2 Senx Cosx/x = 2 (Lím   Senx/x * Lím Cosx) = 2*1*1 = 2
x-->0                                x-->0               x-->0