Question

Ayuda por favor

Una caja rectangular tiene una base cuadrada de lado (x), no tiene tapa. El área de los lados y el fondo es 48 . Halle las dimensiones de la caja de máximo volumen que cumpla estos requerimientos.

Answer 1

Datos.-

x = base (lado del cuadrado)

y = altura (caja)

Ac = 48

Solución.-
Planteamos la ecuación
Ac = 4(A rectángulo) + A(cuadrado)

48 = 4(x.y) + (x^2)

48 = 4xy + x^2

48 - x^2 = 4xy

Hallando “y” en función a “x”

y = (48 - x^2) / 4x

Reemplazando en Volumen

V = x . x . y

V = x^2 (y)

V = [x^2 (48 - x^2)] / 4x

V = x/4 (48 - x^2)

V = ¼ (48x - x^3)

V = d/dx [¼ (48x - x^3)]

V’ = ¼ (48 - 3x^2) = 0

Entonces

48 - 3x^2 = 0

48 = 3x^2

48/3 = x^2

16 = x^2

x = √16

x = 4 y x = -4 (No)

Sacando segunda derivada para determinar si es el valor máximo.

V’’ = ¼ (- 6x) < 0 verificando con x=4

V’’ = ¼ (- 6)(4) < 0

V’’ = - 6 < 0 (verificado)

Hallando “y”

y = (48 – x^2) / 4x

y = (48 – 4^2) / 4(4)

y = (48 – 16) / 16

y = 32 / 16

y = 2

Rpta.- Las dimensiones de la caja, de máximo volumen son 4 x 4 x 2.

Saludos.