Aquí tenemos que los dos denominadores de las expresiones que están en cada lado de la igualdad, son iguales; por tanto, podemos asumir que los numeradores también son iguales. Entonces, podemos trabajar con esta expresión:
[tex]5x-11=A(2x-3)+B(x+2)[/tex]
Efectuamos las operaciones entre paréntesis, aplicando propiedad distributiva:
[tex]5x-11=2Ax-3A+Bx+2B[/tex]
Observamos que en el lado derecho está la x como término común en dos expresiones. Entonces las factorizamos y dejamos a las otras dos igual, pero para lograr que los polinomios sean idénticos, necesitamos que en la derecha haya una resta; por tanto, agrupamos en un paréntesis a 3A y 2B y como tenemos que cambiar signos, entonces queda la resta que necesitamos:
[tex]5x-11=x(2A+B)-(3A-2B)[/tex]
Aplicamos ahora la condición de polinomios idénticos. En la derecha, el factor que está siendo multiplicado por x, equivale al coeficiente 5 de la izquierda; y el 11 de la izquierda equivale a 3A-2B :
2A+B=5
3A-2B=11
Observamos entonces que se ha formado un sistema de dos ecuaciones, en las cuales la incógnita B tiene signos contrarios; por tanto, podemos multiplicar a la ecuación de arriba por 2 y así podremos eliminar B; es decir aplicamos el método de reducción:
4A+2B=10
3A-2B=11
Sumo las dos ecuaciones y obtengo:
7A=21 (porque +2b y -2b dan cero y no lo escribimos)
Respuesta:
A+B=2
Explicación paso a paso:
Iniciemos realizando la suma de fracciones que está en el lado derecho de la igualdad:
[tex]\frac{5x-11}{2x^{2}+x-6}=\frac{A(2x-3)+B(x+2)}{(x+2)(2x-3)}[/tex]
Multipliquemos ahora los dos factores que están en el denominador del lado derecho de la igualdad:
[tex]\frac{5x-11}{2x^{2}+x-6}=\frac{A(2x-3)+B(x+2)}{2x^{2}+x-6}[/tex]
Aquí tenemos que los dos denominadores de las expresiones que están en cada lado de la igualdad, son iguales; por tanto, podemos asumir que los numeradores también son iguales. Entonces, podemos trabajar con esta expresión:
[tex]5x-11=A(2x-3)+B(x+2)[/tex]
Efectuamos las operaciones entre paréntesis, aplicando propiedad distributiva:
[tex]5x-11=2Ax-3A+Bx+2B[/tex]
Observamos que en el lado derecho está la x como término común en dos expresiones. Entonces las factorizamos y dejamos a las otras dos igual, pero para lograr que los polinomios sean idénticos, necesitamos que en la derecha haya una resta; por tanto, agrupamos en un paréntesis a 3A y 2B y como tenemos que cambiar signos, entonces queda la resta que necesitamos:
[tex]5x-11=x(2A+B)-(3A-2B)[/tex]
Aplicamos ahora la condición de polinomios idénticos. En la derecha, el factor que está siendo multiplicado por x, equivale al coeficiente 5 de la izquierda; y el 11 de la izquierda equivale a 3A-2B :
2A+B=5
3A-2B=11
Observamos entonces que se ha formado un sistema de dos ecuaciones, en las cuales la incógnita B tiene signos contrarios; por tanto, podemos multiplicar a la ecuación de arriba por 2 y así podremos eliminar B; es decir aplicamos el método de reducción:
4A+2B=10
3A-2B=11
Sumo las dos ecuaciones y obtengo:
7A=21 (porque +2b y -2b dan cero y no lo escribimos)
Despejo A:
A=21/7
A=3
Ahora, averigüemos el valor de B
4A+2B=10
12+2B=10
2B=10-12
[tex]2B=-2[/tex]
[tex]B=\frac{-2}{2}[/tex]
B= -1
Ahora sumamos A y B
3+(-1)=3-1=2
Respuesta: 2