Ayuda con este ejercicio de trigonometria porfavor
Una antena de telefonía móvil está sujeta al suelo con dos cables desde su punto más alto, y uno de los cables tiene doble longitud que el otro. Los puntos de sujeció de los cables al suelo están alineados con el pie de la antena, la distancia entre dicho anclajes es de 70 metros y el ángulo formado por los cables es de 120º. Calcula la longitud de cada uno de los cables y la altura de la anten de telefonía.
Una antena de telefonía móvil está sujeta al suelo con dos cables desde su punto más alto, y uno de los cables tiene doble longitud que el otro. Los puntos de sujeció de los cables al suelo están alineados con el pie de la antena, la distancia entre dicho anclajes es de 70 metros y el ángulo formado por los cables es de 120º. Calcula la longitud de cada uno de los cables y la altura de la anten de telefonía.
Fíjate en el triángulo que se forma entre los dos cables y el suelo.
Distancia entre anclajes = 70 m. = lado "a"
Longitud cable corto: "b"
Longitud cable largo: "c" = "2b" (el doble que el corto según enunciado)
Ángulo A = 120º
Teorema del coseno: a² = b² + c² + 2bc·cos A ... sustituyendo valores...
70² = b² + (2b)² + 2·b·2·b·cos120º -------> 70 = 3b² + 4b²+ 4b²·(-0,5)
70 = 3b² + 4b² - 2b² ------------> 70 = 5b²
b = √(70/5) = √14 = 3,74 m. es la longitud del cable corto
El cable largo mide el doble = 7,48 m.
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Para conocer la altura de la antena acudo al teorema de Pitágoras y planteo lo siguiente:
Distancia de anclaje cable corto a pie de antena: "x"
Distancia de anclaje cable largo a pie de antena: "70-x"
Si te das cuenta, cada una de esas distancias es el cateto de un triángulo rectángulo formado entre ellas, la altura de la antena (que será el cateto común a los dos triángulos) y los propios cables que formaran sendas hipotenusas.
Sólo queda plantear el teorema con esos datos:
Cateto² (Altura antena) = H² - c² = (√14)² - x²
Cateto² (Altura antena) = H² - c² = (2√14)² - (70-x)²
Se iguala la parte derecha de las dos ecuaciones...
(√14)² - x² = (2√14)² - (70-x)²
Queda resolver esta ecuación que saldrá de 2º grado, eso ya te lo dejo porque creo que me he empleado a fondo y con suficiente explicación para que entiendas el procedimiento.
Al calcular "x" se obtiene la distancia del anclaje del cable corto a pie de antena, con lo que ya tienes la medida de los dos catetos. Con eso, aplicando de nuevo Pitágoras hallarás la altura de la antena.
Saludos.