Question

a)Uzasadnij ,że w trójkącie prostokątnym suma długości promieni okręgów wpisanego i opisanego jest 2 razy mniejsza od sumy długości przyprostokątych !!! b)uzasadnij że w trójkacei prostokątnym suma długości przypostokątna jest 2 razy wieksza od sumy promieni okręgów wpisanego i opisanego !

Answer 1

Podpunkt a i b to praktycznie to samo, tylko napisane w innej kolejności.

 

Oznaczmy promień okręgu pisanego jako r, a opisanego jako R. Środek okręgu wpisanego znajduje się w punkcie przecięcia dwusiecznych, stąd wynikają równości kątów alfa i beta. Łatwo można odnaleźć trójkąty przystające (z zasady bok-kąt-bok), dzięki czemu możemy znaleźć na przeciwprostokątnej odcinki równe a-r i b-r.

Sumę długości promieni oznaczamy R+r.

Wiemy jednak, że c=2R=a-r+b-r

2R=a-r+b-r

2R=a+b-2r /:2

R=(a+b)/2 - r

R+r=(a+b)/2 - r + r = (a+b)/2

Stąd wiemy, że suma długości promieni jest dwa razy mniejsza od sumy długości przyprostokątnych.