Question

Al lanzar dos dados, ¿Cual es la probabilidad de que el resultado del primer dado sea menor que el segundo?

Answer 1

La Probabilidad de un suceso es el número al que tiende la frecuencia relativa asociada al suceso a medida que el número de veces que se realiza el experimento crece.

Es decir, el cociente entre el número de experimentos en los que sucede y el número total de experimentos realizados. Es remarcable que dada su definición la probabilidad es siempre un número real del intervalo [0,1]. Siendo 0 en los sucesos imposibles y 1 en los sucesos seguros. En ocasiones la probabilidad también se expresa en forma de porcentaje.

En el caso sencillo de un Dado que está diseñado para que caiga sobre cualquiera de sus caras con la misma frecuencia relativa diremos que todos los sucesos (a saber: que salga 1, 2, 3, 4, 5 o 6) son equiprobables. Todo poliedro convexo cuyas caras sean iguales en forma y tamaño cumple la condición de equiprobabilidad. Por pura simetría es obvio que la probabilidad de cualquiera de los 6 sucesos posibles en un Dado de 6 caras es exactamente 1/6.

Probabilidad del complementario

Si conocemos la probabilidad de que se dé un suceso A es muy fácil calcular la probabilidad de que no se dé tal suceso -A usando la siguiente fórmula: P(-A)=1-P(A).

Intersección de sucesos independientes

Si queremos conocer la probabilidad de que se den dos sucesos simultáneamente P(A^B) y conocemos la probabilidad de cada uno de ellos P(A) y P(B) podemos aplicar la fórmula:

P(A^B) = P(A) · P(B)

Esto es así siempre que ambos sucesos sean independientes. Es decir, que el resultado del primer experimento no influya en el resultado del segundo.
Lanzar un Dado dos veces y que en ambas salga un 1 es un ejemplo de sucesos independientes pues el resultado de la primera tirada no influye en el de la segunda. Aplicando la fórmula a este ejemplo resulta evidente que la probabilidad de sacar un 1 en ambas tiradas es P(A^B)=(1/6)·(1/6)=1/36.

Unión de sucesos

Si queremos conocer la probabilidad de que se dé un suceso, el otro o los dos P(A+B) y conocemos la probabilidad de cada uno de ellos P(A) y P(B) hemos de aplicar la siguiente fórmula:

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(A^B).

Por ejemplo, si lanzamos un Dado y queremos saber la probabilidad de que salga 1 o 2 hemos de calcular: P(A+B)=(1/6)+(1/6)-0=2/6 ya que la probabilidad de que salga 1 y 2 a la vez en el mismo Dado es nula. Si por el contrario queremos calcular la probabilidad de que salga par o mayor que 4la fórmula se aplica así: P(A+B)=(3/6)+(2/6)-(1/6)=4/6 ya que la probabilidad de que salga par y mayor que cuatro en la misma tirada es 1/6(que es el caso en el que sale el número 6).

Probabilidad condicionada

Si queremos saber la probabilida de que suceda un suceso A a sabiendas de que ya se ha producido otro suceso B que lo altera, tenemos que hacer uso de la fórmula de la probabilidad condicionada P(A/B):

P(A/B) = P(A^B) / P(B)

Por ejemplo, si lanzamos un Dado, la probabilidad de sacar un 4 es de 1/6. Sin embargo, la probabilidad de haber sacado un 4 si sabemos que va a salido par es de 1/3 ya que P(A^B)=1/6 (porque sólo el 4 cumple simultaneamente las condiciones de ser par y 4) y P(B)=1/2 (ya que la mitad de los números son pares) de donde P(A/B)=(1/6)/(1/2)=1/3.