Ada yang bisa bantu ? ini persamaan diferensial Mohon bantuannya.... Question from @Pony80

November 2019 1 103 Report

Ada yang bisa bantu ? ini persamaan diferensial

$4ye^{y^2}y'-2\tan{x}e^{y^2}=x\cot{x}\,,y\left(\frac{\pi}{4}\right)=0$

Mohon bantuannya

Adjie564 Materi : Persamaan Diferensial

Sepertinya ini PD Bernoulli,

Misalkan di ambil :

$u=e^{y^2}\,maka\,\frac{du}{dx}=2ye^{y^2}\frac{dy}{dx}\\ye^{y^2}y'=\frac{1}{2}u'$

Substitusikan ke PD semula, maka diperoleh persamaan :

$4\left(\frac{1}{2}\right)u'-2\tan{x}u=x\cot{x}\\2u'+(-2\tan{x})u=x\cos{x}\\u'+(-\tan{x})u=\frac{1}{2}x\cos{x}\cdots(1)$

Untuk menyelesaikan (1), gunakan metode PD linear orde 1, dengan mengambil :

P(x) = - tan x

Maka, faktor integrasinya adalah :

$F(I):e^{\int{P(x)\,dx}}=e^{\int{-\tan{x}\,dx}}=e^{\ln{(\cos{x})}}=\cos{x}$

Kalikan fungsi tersebut ke PD, akan di dapat :

$\cos{x}u'-\tan{x}.\cos{x}u=\frac{1}{2}x\cos{x}.\cos{x}\\\cos{x}u'-\sin{x}u=\frac{1}{2}x\cos^2{x}$

Perhatikan, ternyata - u sin x adalah turunan pertama dari u cos x terhadap x, maka diperoleh :

$\frac{d}{dx}(u\cos{x})=\frac{1}{2}x\cos^2{x}\\\int{d(u\cos{x})}=\frac{1}{2}\int{x\cos^2{x}\,dx}\\u\cos{x}=\frac{1}{8}x^2+\frac{1}{8}x\sin{2x}+\frac{1}{16}\cos{2x}+c\\2x^2\sec{x}+2x\tan{2x}+\sec{x}\cos{2x}+c\sec{x}-16u=0$

Semoga membantu, nampaknya ada kesalahan dr soalnya.

0 votes Thanks 1