Ada berapa banyak nilai k sehingga KPK (6⁶, 8⁸, k) = 12¹²?.... Question from @alcheysa

alcheysa @alcheysa

July 2022 1 8 Report

Ada berapa banyak nilai k sehingga KPK (6⁶, 8⁸, k) = 12¹²?

henriyulianto

Ada 25 nilai $k$ yang memenuhi
$\large\text{$\begin{aligned}{\rm KPK}\left(6^6,\:8^8,\:k\right)=12^{12}\end{aligned}$}$

Pembahasan

Kelipatan Persekutuan terKecil (KPK)

Pertanyaan:

Ada berapa banyak nilai $k$ sehingga ${\rm KPK}\left(6^6,\:8^8,\:k\right)=12^{12}$ ?

PENYELESAIAN

Baik 6, 8, maupun 12 adalah bilangan komposit, yaitu bilangan yang mempunyai lebih dari 2 faktor (selain bilangan itu sendiri dan 1).

Dengan faktorisasi prima, kita peroleh:

$\large\text{$\begin{aligned}6^6&=(2\times3)^6\\&=2^6\times3^6\\8^8&=\left(2^3\right)^8\\&=2^{24}\\12^{12}&=\left(2^2\times3\right)^{12}\\&=2^{24}\times3^{12}\end{aligned}$}$

KPK diperoleh dari perkalian semua faktor prima berbeda, dengan memilih pangkat terbesar untuk faktor prima yang sama.

Oleh karena itu:

$\large\text{$\begin{aligned}{\rm KPK}\left(6^6,\:8^8,\:k\right)&=2^{24}\times3^{12}\\2^{24}\times3^6\times k&=2^{24}\times3^{12}\\\end{aligned}$}$

Hanya terdapat 2 faktor prima pada kedua ruas, yaitu 2 dan 3. Sehingga, bilangan $k$ harus memenuhi bentuk:

$\large\text{$\begin{aligned}k=2^a\times3^b\end{aligned}$}$

Perhatikan kembali bahwa untuk memperoleh KPK, jika ada faktor prima yang sama, maka faktor prima dengan pangkat terbesar yang dikalikan. Oleh karena itu, agar ${\rm KPK}\left(6^6,\:8^8,\:k\right)=12^{12}=2^{24}\times3^{12}$ :

$\large\text{$\begin{aligned}0 \le a \le 24\ \ {\sf dan\ \ }b=12\end{aligned}$}$

Nilai-nilai k yang memenuhi adalah:

$\large\text{$\begin{aligned}&k=\begin{cases}2^0\times3^{12}\\2^1\times3^{12}\\2^2\times3^{12}\\\dots\\2^{24}\times3^{12}\\\end{cases}\\&{\therefore\ }\boxed{\ \bf Ada\ 25\ nilai\ k\ }\end{aligned}$}$