Question

1.Trzy różne liczby a,b,c tworzą ciąg arytmetyczny, natomiast liczby a,d,c - ciąg geometryczny. Wyrazy obu ciągów są dodatnie. Suma wyrazów którego ciągu jest większa ?

2.Liczby a,b,c tworzą ciąg arytmetyczny, natomiast liczby 1/a, 1/b, 1/(a+b+c) tworzą Ciąg geometryczny. Wyznacz iloraz ciągu geometrycznego.

Answer 1

1.Trzy różne liczby a,b,c tworzą ciąg arytmetyczny, natomiast liczby a,d,c - ciąg geometryczny. Wyrazy obu ciągów są dodatnie. Suma wyrazów którego ciągu jest większa ?

S=a+b+c=a+a+r+a+2r=3a+3r=3a+3/2(aq²-a)=a+c+b

S=a+d+c=a+aq+aq²=a+c+d

aq²=a+2r
aq²-a=2r
r=(aq²-a)/2

nalezy porównac b i d

b=a+r=a+(aq²-a)/2=a[1+1/2q²-1/2]=a[1/2+1/2q²]
d=aq
a[1/2+1/2q²]-aq=a[1/2+1/2q²-q]
Δ=1-4*1/4=0
a>0 czyli 1/2+1/2q²-q>0
czyli b>d
więc
S arytmetycznego jest większa

2.Liczby a,b,c tworzą ciąg arytmetyczny, natomiast liczby 1/a, 1/b, 1/(a+b+c) tworzą Ciąg geometryczny. Wyznacz iloraz ciągu geometrycznego.

a;a+r;a+2r
1/a;1/a+r;1/3a+3r
q=1/b:1/a=a/b

q=a/a+r
q=(a+b+c)/b=3a+3r/a+r=3