DLA CHĘTNYCH !!!Na rysunku przedstawiony jest graniastosłup prawidłowy trójkątny. Proszę obliczyć mi.... Question from @ZbiorJ

June 2022 1 63 Report

DLA CHĘTNYCH !!!
Na rysunku przedstawiony jest graniastosłup prawidłowy trójkątny. Proszę obliczyć miarę kąta C'AB', wiedząc, że jest o π/8 mniejsza od miary kąta AB'C'.

Gharic

Verified answer

Cześć!

Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma w podstawie trójkąt równoboczny. Stąd wynika, że wszystkie ściany boczne są równych wymiarów.

Odcinki $\mathrm{C'A}$ i $\mathrm{B'A}$ są równe i są przekątnymi ściany bocznej. Skoro tak, to trójkąt $\mathrm{\triangle C'AB'}$ jest równoramienny, więc $\sphericalangle \mathrm{AC'B'} = \sphericalangle \mathrm{AB'C'}=\alpha$ . Wiemy, że miara kąta $\mathrm{C'AB'}$ jest o $\frac{\pi}{8}$ mniejsza od miary kąta $\mathrm{AB'C'}$ , zatem:

$\sphericalangle \mathrm{AB'C'} = \sphericalangle \mathrm{C'AB'} + \frac{\pi}{8}\\\\\alpha = \sphericalangle \mathrm{C'AB'} + \frac{\pi}{8}\\\\\alpha - \frac{\pi}{8}= \sphericalangle \mathrm{C'AB'}$

Wiedząc, że suma kątów w trójkącie wynosi $180^{\circ}$ , układamy równanie:

$\alpha + \alpha + \alpha - \frac{\pi}{8} = 180\\\\3\alpha - \frac{\pi}{8} = \pi\\\\3\alpha = \frac{9\pi}{8} \ |:3\\\\\alpha = \frac{9\pi}{8} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3\pi}{8}$

Zatem skoro $\sphericalangle \mathrm{C'AB'} = \alpha - \frac{\pi}{8}$ , to $\sphericalangle \mathrm{C'AB'} = \frac{3\pi}{8} - \frac{\pi}{8} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} = 45^{\circ}$