En un sistema automático de vigilancia, un brazo de robot que controla la posición de una cámara de video es manipulado por un motor que ejerce una fuerza sobre el brazo. La fuerza está dada por:
F (r)=F0 (1+x^2/(6x_0^2 ))i+F_0/4 (4+16 z^3/(〖6x〗_0^3 ))k
Donde F0=2 N x0 = 0.0070 m, x y z es la posición de los extremos del brazo. Si éste se mueve de x1 =0.010 m a x2= 0.050 m, z1 =0.020 m a z2= 0.10 m ¿Cuánto trabajo realizó el motor solo para la posición z?
F (r)=F0 (1+x^2/(6x_0^2 ))i+F_0/4 (4+16 z^3/(〖6x〗_0^3 ))k
Donde F0=2 N x0 = 0.0070 m, x y z es la posición de los extremos del brazo. Si éste se mueve de x1 =0.010 m a x2= 0.050 m, z1 =0.020 m a z2= 0.10 m ¿Cuánto trabajo realizó el motor solo para la posición z?
El trabajo efectuado solo para la posición vertical es de 97 J.
Explicación:
Si la fuerza que ejerce el brazo tiene una componente horizontal X y una componente vertical Z, el trabajo ejercido por el brazo solo para el desplazamiento vertical es:
[tex]W=\int\limits^{z_2}_{z_1} {F_z} \, dz[/tex]
Porque es la componente vertical la que ejerce el trabajo de pasar de una posición vertical a otra, reemplazando la expresión de la fuerza queda:
[tex]W=\int\limits^{0,1}_{0,02} {\frac{F_0}{4}(4+16\frac{z^3}{6x_0^3})} \, dz \\\\W=\frac{F_0}{4}\int\limits^{0,1}_{0,02} {(4+16\frac{z^3}{6x_0^3})} \, dz =\frac{F_0}{4}[4z+\frac{1}{4}\frac{16z^4}{6x_0^3}]^{0,1}_{0,02}=\frac{2N}{4}[4z+\frac{1}{4}\frac{16z^4}{6.3,43\times 10^{-7}}]^{0,1}_{0,02}\\\\W=\frac{2N}{4}[4(0,1m)+\frac{1}{4}\frac{16(0,1m)^4}{6.3,43\times 10^{-7}}]-\frac{2N}{4}[4(0,02m)+\frac{1}{4}\frac{16(0,02m)^4}{6.3,43\times 10^{-7}}]\\\\W=97J[/tex]