Question

Podstawa prostopadłościanu jest prostokąt o stosunku długości boków 1:2 i polu 32 cm2. Przekątna prostopadłościanu tworzy z jego wysokością kąt alfa, taki że sin alfa=3/5. Wyznacz wymiary prostopadłościanu.

Answer 1

Witam!
Robię rysunek do tego zadania:
http://images38.fotosik.pl/223/c0aaaa8dbc9010a0.png

Oznaczenia:
1/3a, 2/3a - długości w podstawie (wynika to z proporcji 1:2)
h - wysokość
p - przekątna podstawy
g - przekątna prostopadłościanu

Z rysunku wynika, że pole podstawy to:
(1/3)a * (2/3)a = 32
(2/9)a²=32
czyli a=12

Teraz liczę długość przekątnej podstawy. Wystarczy zastosować tw. Pitagorasa dla trójkąta ABC:

p=√[(14/3)²+(28/3)²]=(14√5)/3

Teraz korzystam z informacji o sinusie kąta alfa. Z denificji sinusa wiadomo, że:
sinα=p/g=3/5, czyli:

g=(5/3)p=(70√5)/9

Na koniec znajduję wysokość ponownie korzystając z Pitagorasa tym razem dla trójkąta ACD:

h=√[g²-p²]=√[{(70√5)/9}²-{(14√5)/3}²]=(56√5)/9

Odp.: Wymiary tego prostopadłościanu to: 14/3, 28/3 i (56√5)/9.

Pozdrawiam!