Question

4. Wykaż, że jeżeli a,b∈(0,1) , to log_a (b)+log_b (a) >= 2

Answer 1

4. Wykaż, że jeżeli a,b∈(0,1) , to log_a (b)+log_b (a) >= 2

wychodzimy z nierówności spełnionej dla kazdej liczby
( log_a (b) -1)² ≥0 zał. b>0

log_a ²(b) -2 log_a (b) +1 ≥0 /:log_a (b) ( bo log_a (b)>0 ponieważ a,b∈(0,1) )

log_a (b) - 2 + 1/log_a (b) ≥ 0

log_a (b) + 1/log_a (b) ≥ 2

log_a (b) + log_b (a)≥ 2 ( bo log_b (a)=1/log_a (b) na podstawie tw. o zmianie podstawy logarytmu)
cnd