Czy w kartoniku o kształcie czworościanu foremnego o krawędzi 1 dm zmieści się 1/4 litra soku?.... Question from @blueberryloveme

blueberryloveme @blueberryloveme

March 2022 1 11 Report

Czy w kartoniku o kształcie czworościanu foremnego o krawędzi 1 dm zmieści się 1/4 litra soku?

animaldk

Odpowiedź:

Nie zmieści się.

Szczegółowe wyjaśnienie:

Musimy obliczyć objętość czworościanu foremnego w dm³,

ponieważ 1dm³ = 1litr.

Możemy użyć gotowego wzoru, jeżeli go znamy:

$V=\dfrac{a^3\sqrt2}{12}$

lub obliczamy objętość na piechotę.

Ze wzoru:

$a=1dm\\\\V=\dfrac{1^3\sqrt3}{12}=\dfrac{\sqrt3}{12}$

Na piechotę:

(patrz załącznik)

Wzór na objętość ostrosłupa:

$V=\dfrac{1}{3}P_p\cdot H$

W podstawie mamy trójkąt równoboczny. Stąd:

$P_p=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\\\\P_p=\dfrac{1^2\sqrt3}{4}=\dfrac{\sqrt3}{4}$

Brakuje nam wysokości bryły. Szukamy trójkąta prostokątnego (czerwony na rysunku).

Obliczamy wysokość trójkąta równobocznego korzystając ze wzoru:

$h=\dfrac{a\sqrt3}{2}\to h=\dfrac{1\sqrt3}{2}=\dfrac{\sqrt3}{2}$

Obliczamy 2/3 wysokości trójkąta równobocznego (wysokości w trójkącie równobocznym dzielą się w stosunku 1 : 2).

$\dfrac{2}{3}h=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{\sqrt3}{3}$

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

$H^2+\left(\dfrac{\sqrt3}{3}\right)^2=1^2\\\\H^2+\dfrac{3}{9}=1\\\\H^2+\dfrac{1}{3}=1\qquad|-\dfrac{1}{3}\\\\H^2=\dfrac{2}{3}\to H=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\\\\H=\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}\cdot\dfrac{\sqrt3}{\sqrt3}\\\\H=\dfrac{\sqrt6}{3}$

Obliczamy objętość:

$V=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{\sqrt6}{3}=\dfrac{\sqrt{18}}{36}=\dfrac{\sqrt{9\cdot2}}{36}=\dfrac{\sqrt9\cdot\sqrt2}{36}=\dfrac{3\sqrt2}{36}=\dfrac{\sqrt3}{12}\ (dm^3)$