Question

Zad 1. Oblicz a4 + b4 , wiedząc że:

a)ab=1 oraz a2 + b2=3

b)a2 + b2=9 oraz a+b = 1

zad 2. Wyznacz a, wiedząc, że punkty A,B i C należą do wykresu tej samej funkcji liniowej.

a) A(0,-2) B(-2,2) C(0,a)

b) A(1,3) B(5,5) C(a,0)

c) A(1/2;7) B(-6,7) C(;a)

d) A(3,2) B(a,6) C(-1;14/3)

zad 3. a) Udowodnij, że szesciocyfrowa liczba, w której wszystkie cyfry sa jednakowe, jest podzielna przez 3.

b) w pewnej liczbie naturalnej podzielnej przez 9 cyfra jednosci jest równa a. Suma pozostałych cyfr jest równa 36. Udowodnij ze a=0 lub a=9.

Answer 1

z.1

a) a*b = 1  oraz a² + b² = 3

Oblicz: a⁴ + b⁴

Mamy (a² + b²)² = a⁴ + 2 a² b² + b⁴ --->  a⁴ + b⁴ = (a² + b²)² - 2 a² b² =

= 3² - 2 (a b )² = 9 - 2 *1² = 9 - 2 = 7

Odp.  a⁴ + b⁴ = 7

==================

b)

a² + b² = 9   oraz  a + b = 1

(a + b)² = a² + b² + 2ab  --> 2ab = (a +b)² - (a² + b²) = 1² - 9 = - 8

ab = - 4

a⁴ + b⁴ = (a² + b²)² - 2 a² b² = (a² + b²)² - 2 (a b)²

zatem  a⁴ + b⁴ = 9²  - 2 (-4)² = 81 - 2*16 = 81 - 32 = 49

==================================================

z.2

a)  A = (0; -2),  B = (-2;2)  , C = ( 0; a )

Punkty A, B, C są współliniowe.

y = kx + b

-2 = 0*k + b --> b = -2

2 = -2 k + b = -2k -2  --> -2k = 2 =2 = 4

k = -2

y = -2 x - 2

------------    C = ( 0 ; a)

a = -2*0 - 2 = -2

Odp. C = (0; -2)

==================

b)  A = (1 ; 3), B = (5 ; 5) , C = (a; 0)

3 = 1*k + b

5 = 5 *k + b

------------------- odejmujemy stronami

5 - 3 = 4k --> 4k = 2

k = 1/2

b = 3 - k = 3 - 1/2 = 2,5

y = 0,5 x + 2,5  oraz  C =  (a ; 0)

0 =0,5 *a +2,5

0,5 a = -2,5

a = - 5

--------------

C = ( -5 ; 0 )

================

c)

A = (1/2 ; 7), B = ( -6; 7), C = ( √3 ; a )

7 = 0,5 k + b

7 = -6k + b

-------------------

0 = -6k - 0,5 k

-6,5 k = 0

k = 0

b =  7

y = 7    < ----- funkcja stała

----------

zatem  a = 7  oraz    C = (√3 ; 7)

================================

d)

A = (3; 2), B = (a ; 6), C = (-1 ; 14/3)

2 = 3k + b

14/3 = -k + b

------------------

14/3 - 6/3 = -k - 3k

-4k = 8/3

k = - 2/3

-----------

b = 2 - 3k = 2 - 3*(-2/3) = 2 +2 = 4

y = (- 2/3) x + 4

6 = (-2/3)*a + 4

(2/3) a = 4 - 6 = - 2

a = -2*(3/2)  =  - 3  oraz  B = ( - 3 ; 6)

========================================

z.3

a)

a - cyfra liczby sześciocyfrowej

Wszystkie cyfry są jednakowe , zatem

______

aaaaaa = 100 000a + 10 000 a + 1000a + 100a + 10a + a =

= a(100 000 + 10 000 + 1000 + 100 + 10 + 1) = 111 111 * a

Suma cyfr liczby 111 111 = 6  jest podzielna przez 3 , zatem liczba

111 111 jest podzielna przez 3  , a tym samym liczba 111 111 *a  też jest

podzielna prze 3.

================

b)

Suma cyfr tej liczby naturalnej jest równa 36 + a.

Ponieważ liczba jest podzielna przez 9  zatem  suma cyfr tej liczby

jest pozdielna przez 9

36 + 0 = 36 = 4*9   oraz  36 + 9 = 45 = 5 * 9

dlatego     a = 0  lub  a = 9.

================================================================