Question

1. Jeśli do wykresu funkcji f(x)=a/x należy punkt (2/3;9), to ile jest równa liczba punktów o obu współrzędnych całkowitych, które należą do wykresu tej funkcji?

Answer 1

Do funkcji  należy punkt (⅔;9), co oznacza, że dla argumentu x=⅔ funkcja f(x) przyporzodkowuje wartość 9. Możemy te liczby podstawić do wzoru funkcji:

Równanie funkcji przyjmuje zatem postać:

co można zapisać również jako

Mamy sprawdzić, ile punktów należących do funkcji ma obie współrzędne całkowite, czyli x∈C oraz y∈C (ewentualnie za C wstawia się Z; nie jestem pewny, jak liczby całkowite oznacza się na poziomie liceum)

Możemy podstawiać różne liczby całkowite x do naszego wzoru, jednak nie wszystkie spełnią warunek zadania. Na przykład dla x=3 otrzymamy y=2, ale dla x=10 otrzymamy y=0,6 , a przecież y także musi być liczbą całkowitą.

Szybko dochodzimy do wniosku, że warunek spełniają wszystkie liczby x będące dzielnikami liczby 6. A są to mianowicie 6 ; 3 ; 2 ; 1 ; -1 ; -2 ; -3 ; -6 (liczby ujemne zostały uwzględnione dlatego, że operujemy na liczba całkowitych a nie naturalnych; wykluczenie liczb ujemnych byłoby zatem błędem). Razem 8 liczb, do których można powyliczać odpowiadające im liczby y (ale w tym zadaniu nie jest to potrzebne), czyli 8 par współrzędnych x,y. Pary współrzędnych można potraktować jednocześnie jako punkty, a więc ostateczne rozwiązanie brzmi 8 punktów