Question

Wyznacz równania prostych przechodzących przez początek ukladu wspólrzędnych i stycznych do okręgu o środku w punkcie S=(4;0) i promieniu równym 2

RYSUNEK W ZAŁĄCZNIKU



Dla ulatwienia odp to y=√3x/3 ; y= - √3x/3

Answer 1

Zaczynamy od rysunku.
( w załączniku )

Proste przchodzące przez początek układu są postaci y = ax (tak naprawdę jedna z nich nie jest tej postaci: x = 0 , ale widać, że nie jest to szukana styczna). Musimy zatem wyznaczyć współczynnik a (z rysunku widać, że będą to dwie wartości wzajemnie przeciwne).

Sposób I

Współczynnik kierunkowy a prostej y = ax to dokładnie tangens kąta jaki ta prosta tworzy z osią OX . Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AOS mamy
∘ ---2------2 √ ------- √ -- AO = OS − AS = √ -16 − 4 = 2 3 AS 2 3 tgα = ---- = -√----= ----. AO 2 3 3

Druga wartość a to √ 3 − -3- .

Sposób II

Tym razem wstawmy równanie prostej y = ax do równania okręgu i sprawdźmy kiedy mają dokładnie jeden punkt wspólny.
2 2 (x − 4 ) + y = 4 (x − 4 )2 + (ax )2 = 4 2 2 2 x − 8x + 16+ a x = 4 (a2 + 1)x 2 − 8x + 12 = 0 0 = Δ = 6 4− 48(a2 + 1) = 16 − 48a2 = 16(1− 3a2) √ -- a2 = 1- ⇒ a = ± --3. 3 3

Sposób III

Tym razem skorzystamy ze wzoru na odległość punktu P = (x 0,y0) od prostej Ax + By + C = 0 :
|Ax + By + C| ---0√------0-----. A 2 + B 2

Prosta jest styczna do okręgu dokładnie wtedy, gdy odległość od niej środka tego okręgu jest równa jego promieniowi. Pytanie zatem brzmi: kiedy punkt (4,0 ) jest odległy od prostej y = ax o 2? Daje to nam równanie
|y − ax | |0 − 4a| 2 = √--------= √-------- 1 +∘ a2---- 1 + a2 |4a| = 2 a2 + 1 ∘ ------ |2a| = a2 + 1 / ()2 √ -- 2 2 2 ---3 4a = a + 1 ⇒ 3a = 1 ⇒ a = ± 3 .


Odpowiedź: √- √- y = -3x , y = − -3x 3 3