Question

3.126
Dany jest wielomian W(x)=-3x⁴+ax³+12x²-24x o ktorym wiadomo, że jednym z jego miejsc zerowych jest liczba 2.
a) wyznacz wartość parametru a i pozostałe miejsca zerowe tego wielomianu
b)Dla wyznaczonej wartości a, wyznacz zbiór tych argumentów, dla których wielomian W(x) osiąga wartości większe niż wielomian F(x) = 3x³+6x²-24x

Answer 1

Z treści zadania odczytujemy zależność:

W(2) = 0

i podstawiamy do wielomianu:

0 = - 3 * 2⁴+ a * 2³ + 12 * 2² - 24 *2
0 = 8 * a - 48
6 = a

Rozwiązujemy uzupełniony wielomian:

W(x)=-3x⁴ + 6x³ + 12x² - 24x
W(x) = x (-3x^3 + 6x^2 + 12x - 24)

Wiemy, że jednym z pierwiastków jest 2 więc dzielimy wielomian przez (x - 2), zgodnie z twierdzeniem Bezouta (w załączniku)

Otrzymujemy:

W(x) = -x (x - 2)(-3x² +12)

-3x² +12 = 0
-3x² = -12
x² = 4

x= 2
x = -2

Rozwiązaniami wielomianu są więc liczby {-2, 0, 2} przy czym 2 jest pierwiastkiem podwójnym.

b)
Porównujemy:

f(x) < W(x)
3x³+6x²-24x < -3x⁴ + 6x³ + 12x² - 24x
0 < - 3x⁴ +3x³ + 6 x²
0 < x² * (-3x² +3x +6)

Δ = 1 + 4* 2 = 9

x1 = (-1-3)/-2 = 2
x2 = (-1+3)/-2 = -1

0 < x^2 ( x-2)(x+1)

Rysujemy wykres (załącznik) i odczytujemy odpowiedz:

f(x) < W(x) dla x należącego do zbioru (-1 , 0) suma (0 , 2)